Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 82

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 167 >> Следующая


d (х, у) < limd (xh, yh) = IimL (yk [xk, yh\) <

< IirnL (YuUft, 4?]) < L (у [x, y])<.d(x, y). Отсюда вытекает, как и требовалось, что d (х, у) = L (у Ix, у\). ? і 92

Гл. 7. Максимальные геодезические

Сформулируем теперь в терминах глобальной геодезической структуры несколько критериев того, чтобы глобально гиперболические и сильно причинные пространственно-временные многообразия были причинно разделяемы. В частности, мы сможем показать, что все двумерные глобально гиперболические пространства являются причинно разделяемыми. Один из наших критериев (предложение 7.18) вместе с теоремой 7.13 означает, что если сильно причинное пространство-время (М, g) не содержит изотропных геодезических лучей, то (M, g) содержит времениподобную геодезическую прямую.

Напомним, что непродолжаемая изотропная геодезическая 7: (а, Ь) -у (М, g) называется изотропной геодезической прямой, если d (7 (s), 7 (/)) — 0 для всех s и /, связанных соотношением а < s < t < Ь.

Предложение 7.14. Пусть (М, g) —глобально гиперболическое пространство-время. Если (M, g) содержит изотропную геодезическую прямую, то (М, g) является причинно разделяемым.

Доказательство. Пусть с: (a, b) -у M — заданная изотропная геодезическая прямая иг — произвольная точка с. Выберем в M компактное подмножество К так, чтобы г ? Int (К). Построим последовательности tn -> а+ и Vn -у Ь~, удовлетворяющие условию с (tn) с г < с (Vn) для любого п. Положим рп = с (tn). Достаточно показать, что для каждого п найдется некоторая точка qn со свойствами: с (t'n) <<С qn и все непространственноподобные кривые нз рп в qn встречают К-

Если для какого-нибудь п такой точки qn не существует, то должны быть последовательность точек \xh\, сходящаяся к с (Vn) так, что с (in) <<( xh для всех k, и последовательность направленных в будущее непространственноподобных кривых yh, соединяющих с (tn) с Xh так, что К П 7fe = 0 для любого k. Последовательность \yh\ будет иметь в качестве предельной направленную в будущее непространственноподобную кривую 7, начинающуюся в с (/„). Из глобальной гиперболичности (М, g) вытекает, что 7 должна соединять с (tn) с с (th). С другой стороны, из того, что с — максимальная изотропная геодезическая, вытекает, что единственной (с точностью до параметризации) непространственнопо-добной кривой из с (tn) в с (Vn) является изотропная геодезическая с I Un, tn] (см. лемму 8.13). Тем самым у а с и последовательность І7ь} должна пересекать К для некоторого большого k. ?

Предложение 7.14 позволяет утверждать, что пространство-время Минковского, пространство-время де Ситтера и космологические модели Фридмана причинно разделяемы. С другой стороны, пример 4.11 статической вселенной Эйнштейна показывает, что существуют глобально гиперболические причинно разделяемые пространственно-временные многообразия, не содержащие изо- 7.3. Причинно разделяемые пространственно-временные многообразия 18Э

тропных геодезических прямых. Поэтому наличие изотропной геодезической прямой не является необходимым условием того, чтобы глобально гиперболическое пространство-время было причинно разделяемым.

В следующем предложении мы дадим достаточное условие для того, чтобы глобально гиперболическое пространство-время (М, g) было причинно разделяемым. Для доказательства этого результата (предложение 7.18) необходимо ввести несколько дополнительных понятий из элементарной теории причинности. Подмножество S пространства-времени (М, g) называется ахрональ-ньш, если никакие две точки из S хронологически не связаны. Для заданного замкнутого подмножества S пространства-времени (М, g) область Коши в будущем, или область зависимости, D+(S) множества S определяется как множество всех точек q, для которых каждая непродолжаемая в прошлое непространственноподобная кривая, исходящая из q, пересекает S. Горизонт Коши в будущем H+ (S) задается формулой H+ (S) = cl (D+ (S)) \ Г (D+(S)). Контур будущего E^(S) подмножества S определяется как E+ (S) = J+ (S) \ I+ (S). Ахрональное множество S называется ловушечным для будущего, если E+(S) компактен. Более развернутое описание этих понятий можно найти у Хокинга и Эллиса (1977, с. 135, 207, 224—225 и 297).

Для доказательства предложения 7.18 нам также необходим один результат, впервые установленный Хокингом и Пенроузом (1970, с. 537, лемма 2.12). В книге Хокинга и Эллиса (1977, с. 296) этот результат представлен в несколько иной форме в ходе доказательства теоремы 2. В доказательстве этой теоремы предполагается, что dim M ^ 3, (М, g) имеет всюду неотрицательную непространственноподобную кривизну Риччи и удовлетворяет типовому условию (условия (1) и (2) теоремы 2). Однако нетрудно заметить, что если в формулировке леммы 8.2.1 и идущего за ним следствия в книге Хокинга и Эллиса (1977, с. 298—299) дополнительно предполагать, что (М, g) сильно причинно, то легко получить наши лемму 7.15 и следствие 7.16. Для полноты изложения мы сформулируем оба эти результата.

Лемма 7 Л 5. Пусть А —замкнутое подмножество сильно причинного пространства-времени (М, g). Тогда H+ (cl (E+ (Л))) либо некомпактно, либо пусто.
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed