Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 83

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 167 >> Следующая


Из этой леммы, как и у Хокинга и Пенроуза (1970, с. 537) или у Хокинга и Эллиса (1977, с. 298—299), получается следующее утверждение.

Следствие 7.16. Пусть (М, g) сильно причинно. Если S — ловушечное множество для будущего в (М, g), т. е. E+(S) ком-

7 Дж. Бим, П. Эрлих 198

* Гл. 7. Максимальные геодезические

пактно, то существует непродолжаемая в будущее времениподобная кривая у, целиком содержащаяся в D+ (E+ (S)).

Для доказательства предложения 7.18 полезно установить справедливость следующей леммы.

Лемма 7.17. Пусть (М, g) сильно причинно. Если Е+(р) некомпактно, то Е+(р) содержит бесконечную последовательность \qn\, которая расходится к бесконечности.

Доказательство. Если Е+(р) замкнуто, то сформулированное утверждение немедленно следует из того, что замкнутое и некомпактное подмножество M должно быть неограниченным относительно d0. Предположим поэтому, что Е+(р) незамкнуто. Тогда существует бесконечная последовательность \хп\ cr E+ (р), такая, что хп -у X ф E+ (р) при и -у оо. Вследствие того что хп Q E+ (р), имеем d (р, хп) = 0. Отсюда в силу включения хп Q J+ (р) вытекает существование максимального направленного в будущее изотропного геодезического сегмента Yn из р в хп, п любое. Продолжим каждую кривую Yn через хп до непродолжаемой в будущее непространственноподобной кривой, за которой сохраним то же обозначение Yn- Согласно предложению 2.18, последовательность {Ytiі имеет непродолжаемую в будущее непространственноподоб-ную предельную кривую Y'- [0, а) -у М, для которой Y (0) = P-Можно считать, что сама последовательность {уп! определяет у. Если X Q у, то X Q J+ (р). Из неравенства d (р, х) lim d (р, хп) = 0 получаем, что х Q J+ (р) \ I+ (р) = E+ (р) в противоречии с предположением X ф E+ (р). Тем самым х ф у. Покажем теперь, что Y [0, а) целиком содержится в E+ (р). Возьмем для этого произвольную точку Z^Y- Вследствие того что \уп\ определяет Y. можно найти Zn Q уп, такие, что z„-+z при и -у оо. Согласно предложению 2.21, существует подпоследовательность \yh\ последовательности {Ynl. У которой Yft [p. zftl сходятся к Y [p. z] в C0-топологии на кривых. Так как х ф у, то можно найти открытое множество U, содержащее у [р, z] и такое, что X ф U. Вследствие сходимости Xji —у X точки Zh расположены на Yft перед xh для всех достаточно больших k. Тем самым y [р, Zft ] максимален и d (р, zh) = 0 справедливо для всех достаточно больших k. Отсюда вытекает неравенство d (р, z) lim d (р, zh) = 0. Так как z выбрано произвольно, то тем самым d (р, z) = 0 для всех Z^Y-B силу того что Y — непространственноподоВная кривая, она является максимальным направленным в будущее непродол-жаемым в будущее изотропным геодезическим лучом. Взяв последовательность \tn\, подчиненную условию tn -у а", а в остальном произвольную, и положив qn = у (tn), получим требуемую расходящуюся последовательность. ? 7.3. Причинно разделяемые пространственно-временные многообразия 18Э

Завершив эти приготовления, мы теперь можем получить достаточное условие того, что сильно причинное пространство-время причинно разделяемо. Пример пространства-времени Минковского показывает, что это условие не является необходимым. Напомним, что направленная в будущее и непродолжаемая в будущее изотропная геодезическая 7: [0, а) -у M называется изотропным геодезическим лучом, если d (7 (0), 7 (/)) = 0 для всех t, подчиненных условию Ос/ < а.

Предложение 7.18. Пусть (М, g) сильно причинно. Если р ? M не является начальной точкой никакого направленного в будущее (соответственно в прошлое) изотропного геодезического луча, то (М, g) причинно разделяемо контуром будущего (соответственно прошлого) E+ (р) = J+ (р) \ I+ (р) (соответственно Е~ (р) = J~ (р) \ Ґ (р)) точки р.

Доказательство. Покажем сначала, что предположение о том, что р не является начальной точкой никакого направленного в будущее непродолжаемого в будущее геодезического луча, означает компактность E+ (р). Предположим противное: E+ (р) некомпактно. Тогда существует последовательность точек ]<7?l} сг E+ (р), которая по лемме 7.17 расходится к бесконечности. Вследствие включения <7„ ? E+ (р) имеем d (р, qn) = 0 для всех п. Так как qn ? J+ (р), то, согласно следствию 3.14, найдется направленная в будущее изотропная геодезическая 7?г из р в qn. Продолжим каждую уп через qn до непродолжаемой в будущее непространственноподобной кривой, по-прежнему обозначаемой через 7„. Пусть 7 — непродолжаемая в будущее непространственноподобная кривая, предельная для последовательности {7,г|, существование которой гарантирует предложение 2.18, 7 (0) == р. Используя предложение 2.21 и тот факт, что qn расходятся к бесконечности, можно показать подобно тому, как это делалось при доказательстве теоремы 7.10, что если q—произвольная точка на 7, удовлетворяющая условиям q ф р, q ^ р, то L (7 [р, q]) = = d (р, q). Поэтому 7 можно перепараметризовать в изотропный геодезический луч, исходящий из р, что и приводит к необходимому противоречию. Значит, E+ (р) компактно.

Покажем теперь, что E+ (р) прнчинно разделяет (М, g). Из компактности E+ (р) вытекает, что множество I/?} является лову-шечным в будущем в М. Тем самым, согласно следствию 7.16, найдется непродолжаемая в будущее времениподобная кривая 7, целиком содержащаяся в D+ (E+ (р)). Продолжим 7 до непродолжаемой как в прошлое, так и в будущее времениподобной кривой, за которой сохраним прежнее обозначение 7. Из определения D+ (E+ (р)) вытекает, что кривая 7 должна пересечь E+ (р) в некоторой точке г. Вследствие того что E+ (р) ахронально и 7 вре-7* 196
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed