Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Для изучения фокальных точек подмногообразий полезно иметь под рукой формулу второй вариации для функционала длины дуги. Для полноты мы приведем вывод формул и первой, и второй вариаций. Рассмотрим кусочно-гладкую вариацию a: [a, b\ X X (—є, є) -> (М, g) кусочно-гладкой времениподобной кривой с: [a, b] -> (М, g). Тем самым a (Z, 0) = с (Z) для всех Z ? [а, Ь\, и существует конечное разбиение а = Z0 < Z1C ... <th= b, такое, что a I [fj_lf Zi ] X (—є, є) — гладкая вариация кривой с | [Z^1, ZiI для каждого і = 1, 2, ..., k (см. определение 9.6). Предположим также, что соседние кривые as = а (•, s): [a, b]-+ (М, g) являются времениподобными для всех S, —Є < S < є (см. лемму 9.7). Как и в разд. 9.1, определим для Z, подчиненных условию ti_i < Z < tb векторное поле V вариации а вдоль с посредством формулы
V(t) = (a\[ti,1, Zi] X (-=- є, е)),
* ds (і, 0) ds
д
4r(*<f, S))
s=q JlO
Гл. 11. Сингулярности
Положим также
Д,. (У) = Y' (tf) - Y' (tj) для і = 1, . . ., k - 1
д,Л(П = A,o(n = ^'(g
для любого кусочно-гладкого векторного поля Y (t) вдоль с, гладкого на каждом интервале разбиения (tt^, tt).
Как и в разд. 9.1, для длины кривой t -> a (t, s) будем пользоваться обозначением L (s) = L (as). Тогда формула первой вариации для функционала длины дуги может быть получена обычным образом.
Предложение 11.23. Пусть с: [а, Ь]->¦ (М, g) —нормальная кусочно-гладкая времениподобная кривая. Если а: [а, o ] X X (—є, є) ->¦ (М, g) является вариацией с в классе времениподобных кривых, то
и
L'm= Ok о, dt-->r Sg(^ft). A0(O).
(•=0
Доказательство. Обозначим через Li: (— є, є) -> R функционал длины дуги а | U1^, tt ] X (—є, є). Тогда L (s) = Li (s) и
M*) = j^]/^ (a*-J-, а*—)
dt.
Таким образом, dLj Ci Ir _/_.<?
ds
Vi 1F ! д (9 \ !-їх'
x[-2g(Va/*(a,-jL), а*-J-)] dt.
(11.6)
С другой стороны, из того, что й „I д д \ Zx- д д \ .
и §(а* —> а*~ )1,, „, = —вытекает, что
_ JJ1
A ' dt / la, о)
dLi
ds
Vi d І д д \ ,, 11,3. Фокальные точки
331
Тем самым
lKO) = j^g(К, с") dt [g(V, c')\';Ut откуда следует, что
и
L' (O)=Hg (V, С) dt н ? g(V(ti). A^C'))-
о
как н требовалось. H
Если с: [а, Ы->¦ (М, g) —времениподобная геодезическая, то с" — Vet' = 0 и A^. (c') = 0 для всех і -- 1, ..., /г — 1. Тем самым для времениподобной геодезической формула первой вариации упрощается.
Предложение 11.24. Если с: Iа, Ь] ->¦ (М, g) —нормальный времениподобный геодезический сегмент и a: I a, b I X (—є, є) ->¦ -*¦ (М, g) —вариация с, то
L'(0) = ~g(V, c')\l
Пусть теперь Я — пространственноподобная гиперповерхность и с\ [а, Ь\ ->¦ (М, g) —нормальная времениподобная кривая, у которой с (a) Q Я. При изучении фокальных точек подмногообразия Я можно ограничиться рассмотрением только тех вариаций а: [а, b] X (—є, є) (М, g) кривой с, которые начинаются на Я (т. е. a (a, s) Q H для всех s Q (—є, є), и заканчиваются в с (b) (т. е. a (b, s) = с (b) для всех s Q (—є, є). Тогда предложение 11.23 дает следующую формулу первой вариации:
л—і
L' (0)= О L о, Л "Г Sg(^fr). А,,. (О) g('\ с') I 0).
(-і
(11.7)
Пусть Я — пространственноподобная гиперповерхность без края в (М, g). Зафиксируем q Q М\Н. Рассмотрим совокупность (возможно, пустую) всех времениподобных кривых, соединяющих с q некоторую точку из Я. Если эта совокупность содержит наидлиннейшую кривую с: [a, Ы->-(М, g), то с должна быть гладкой времениподобной геодезической. Это вытекает из следующих обычных рассуждений: 1) времениподобные геодезические локально максимизируют длину дуги и 2) с не имеет углов (в чем нетрудно убедиться при помощи формулы первой вариации). Таким образом, допустим, что нормальная времениподобная геодезическая с: [а, Ь \ ->¦ (M, g) является наидлиннейшей кривой, идущей из Я в q. Если a: [a, b] X (—є, є) (М, g) —вариация с в классе времениподобных кривых, у которой a (a, s) Q H и a (b, s) = q JlO
Гл. 11. Сингулярности
для всех s, —є < s < є, то, пользуясь равенством V (b) = 0 и следствием 11.24, получаем
С другой стороны, L' (0) = 0 вследствие того, что с — кривая максимальной длины среди всех кривых, идущих из H в q. Тем самым V (а) ортогонален с' (а). Вследствие того что описанные выше вариации можно построить с произвольным V (а) ? ТС(а)Н, получаем, что с должна быть ортогональной H в с (а). Тем самым мы приходим к следующему стандартному результату. Отметим также, что отсутствие края у H необходимо для того, чтобы экстремаль с была перпендикулярна H в точке с (а).
Предложение 11.25. Пусть H—пространственноподобная гиперповерхность в (М, g) без края. Предположим, что с: [а, Ь]->--> (М, g) —времениподобная кривая из H в точку q = с (Ь) Н, имеющая максимальную длину среди всех времениподобных кривых из H в q. Тогда с является времениподобным геодезическим сегментом, ортогональным H в точке с (й).
Векторное поле вариации V (t) = а^ (d/ds) |^>0) вдоль с может иметь разрывы производных при тех значениях (Z1, ...,tk-i), параметра /, в которых а не гладка. Поэтому нормальная компонента N = a? Ids + g (a? Ids, a?/dt) a?/dt поля V вдоль с также может не быть гладкой при этих значениях параметра t.
