Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Пользуясь рассуждениями того же типа, что и в предложении 11.22, можно получить также следующий результат.
Предложение 11.33. Пусть (M, g) — пространство-время размерности п ^ 3 и H — пространственноподобное подмногообразие размерности п — 2. Предположим, что ?: J -> (M, g) — непродолжаемая изотропная геодезическая, ортогональная H в точке р = ? (Z1) и удовлетворяющая условию кривизны JlO
Гл. 11. Сингулярности
Ніс (?' (t), ?' (t)) ^ О для всех t Q J. Если —tr (Lp- (<l)) принимает в p отрицательное (соответственно положительное) значение Q1, то существует фокальная точка t() для H вдоль ?, лежащая в интервале с концами tx и tx — (п — l)/0j_ (при условии что t0 Q J).
Особенно важным является случай, когда Я — компактное пространственноподобное (п — 2)-мерное подмногообразие, удовлетворяющее условию (tr Ee^) ¦ (tr LEn ) > 0 в каждой точке (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 292)). Если \еъ ..., еп_2| —орто-нормированный базис для TpH, то tr Le можно вычислить по следующей формуле:
п—2
trLEn= ?g (LeJei), ei).
Определение 11.34. Предположим, что H является компактным пространственноподобным подмногообразием (М, g) без края размерности п — 2. Пусть En и En^1 — линейно независимые направленные в будущее изотропные векторные поля на H (как и выше). Пусть L1 и L2 — вторые фундаментальные формы на Я, определяемые En и En^1 соответственно. Тогда Я называется замкнутой ловушечной поверхностью, если tr L1 и tr L2 либо оба положительны на Я, либо оба отрицательны.
С только что введенным понятием связано понятие ловушечного множества (см. Хокинг и Пенроуз (1970, с. 534—537)). Напомним, что контур будущего для множества А определяется посредством правила E+ (А) = J+ (А)\1+ (А).
Определение 11.35. Непустое ахрональное множество А называется ловушечным для будущего (соответственно для прошлого), если E+ (Л) (соответственно E- (Л)) компактно. Ловушечным называется множество, которое является либо ловушечным для будущего, либо ловушечным для прошлого.
В общем случае замкнутая ловушечная поверхность не обязательно является ловушечным множеством и наоборот. Однако в предложении 11.45 мы покажем, что при определенных условиях существование замкнутой ловушечной поверхности означает либо изотропную неполноту, либо наличие ловушечного множества. Для доказательства предложения 11.45 нам будет нужно формулируемое ниже следствие из предложения 11.33.
Следствие 11.36. Пусть (М, g) — пространство-время размерности 3, удовлетворяющее условию Ric (у, v) ^O для всех изотропных векторов V Q TM. Если(М, g) содержит Замкнутую ловушечную поверхность Н, "то справедливо либо утверждение (1), либо утверждение (2), либо оба: tl.3. Фокальные гііочкй
343
(1) по меньшей мере одно из множеств E+ (H) или E- (H) является компактным.
(2) ( Vf, g) изотропно неполно.
Доказательство. Предположим, что (М, g) является изотропно полным и что tr L1 > 0 и tr L2 > 0 для всех q f Н. Рассмотрим всевозможные направленные в будущее изотропные геодезические, которые начинаются в некоторой точке из Я и имеют в этой точке в качестве начального направления либо En^1, либо En. Каждая такая геодезическая содержит геодезический сегмент, идущий из точки q f Я в первую фокальную точку р для Я. Пользуясь предложением 11.33 и компактностью Я, получаем, что объединение всех таких изотропных геодезических сегментов из Я в фокальную точку содержится в компактном множестве К, состоящем из изотропных геодезических сегментов, начинающихся на Я. Если теперь г f E+ (H), то г можно соединить с Я направленной в прошлое изотропной геодезической, но нельзя направленной в прошлое времениподобной кривой. Поэтому г f К- Следовательно, E+ (H) а К• Чтобы показать замкнутость E+ (H), рассмотрим последовательность \хп\ точек из E+ (H). Эта последовательность имеет предельную точку х - К-Из определения К получаем, что Xf J+ (H). Если XfI+ (H), то открытое множество I+ (H) должно содержать некоторые элементы последовательности \хп\ в противоречии с тем, что x11 f E+ (H) для всех п. Тем самым х ф I+ (H), откуда следует, что XfE+ (H). Проведенное рассуждение показывает, что E+ (H) является замкнутым подмножеством компактного множества К и, значит, само компактно.
Если предположить, что (М, g) является изотропно полным и что tr L1 < 0, tr L2 < 0 для всех q f Н, то аналогичные рассуждения показывают, что Е~ (H) компактно. Это и доказывает следствие. ?
Определим теперь области Коши замкнутого подмножества S многообразия (M, g) (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 224—229)).
Определение 11.37. Пусть S — замкнутое подмножество (M, g). Область Коши будущего D+ (S) (соответственно прошлого) D- (S)) состоит из всех точек р f М, таких, что каждая непродолжаемая в прошлое (соответственно в будущее) непространственноподобная кривая, проходящая через р, пересекает S. Областью Коши множества S является D (S) = D+ (S) U D~ (S) (рис. 11.4).
Замкнутые ахрональные множества играют важную роль в теории причинности и в теории сингулярностей в общей теории относительности. Они обладают следующим свойством (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 232, 297), Хокинг и Пенроуз (1970, с. 537)). JlO
