Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Гл. 11. Сингулярности
вая, проходящая через р, пересекает S.
Предложение 11.38. Если S — замкнутое ахрональное множество в пространстве-времени (M, g), то Int (D (S)) — — D (S)\dD (S) глобально гиперболично.
11.4. Существование сингулярностей
В этом разделе мы приведем доказательства нескольких теорем о сингулярностях в общей теории относительности. В частности, мы докажем основную теорему Хокинга и Пенроуза (1970, с. 538). Наш подход несколько отличается от подхода Хокинга и Пенроуза (1970) в том, что мы показываем причинную разделя-емость (М, g), если оно содержит ловушечное множество, а затем применяем теорему 6.3 Бима и Эрлиха (1979а, с. 172).
Основной прием в доказательстве непространственноподобной неполноты заключается в том, чтобы, используя физические или геометрические допущения на (М, g), построить непродолжаемую непространственноподобную геодезическую, которая является максимальной и, следовательно, не содержит сопряженных точек. Если (М, g) имеет размерность ^аЗ и удовлетворяет типовому и сильному энергетическому условиям, эта геодезическая, согласно теореме 11.18, должна быть неполной.
Покажем сначала, что хронологическое пространство-время с достаточным числом сопряженных точек является сильно причинным (см. Хокинг и Пенроуз (1970, с. 536), Лернер (1972, с. 41)).
Предложение 11.39. Если(М, g) —хронологическое простран-ство-время, в котором каждая непродолжаемая изотропная геодезическая имеет пару сопряженных точек, то (М, g) сильно причинно.
Доказательство. Предположим, что сильная причинность нарушается вр^М. Пусть U — выпуклая нормальная окрест-11.4. Существование сингулярностей
345
ность точки р, a Vh cz U — последовательность окрестностей, стягивающихся к р. Вследствие того что сильная причинность в точке р нарушается, для каждого k найдется направленная в будущее непространственноподобная кривая yh, которая начинается в Vk, покидает U и возвращается в Vh. Используя предложение 2.18, можно получить непродолжаемую непространственноподобную предельную для последовательности |7ь} кривую 7, проходящую через р. Никакие две точки 7 хронологически не связаны, так как в противном случае можно было бы получить замкнутую времениподобную кривую, а пространство-время (M, g) хронологическое. Таким образом, 7 — изотропная геодезическая. Это приводит к противоречию ввиду того, что по предположению каждая изотропная геодезическая имеет сопряженные точки и поэтому содержит точки, которые можно соединить времениподобными кривыми. ?
Предложение 11.39 и теорема 11.18 позволяют сформулировать следующий результат.
Предложение 11.40. Пусть (M, g) — хронологическое пространство-время размерности ^3, удовлетворяющее типовому и сильному энергетическому условиям. Тогда (M, g) является либо сильно причинным, либо изотропно неполным.
Теперь мы можем доказать следующую теорему о сингулярности. Понятие причинно разделяемого пространства-времени было сформулировано в разд. 7.3, определение 7.11.
Теорема 11.41. Пусть (M, g) — хронологическое пространство-время размерности ^3, которое является причинно разделяемым. Если (М, g) удовлетворяет типовому и сильному энергетическому условиям, то (М, g) непространственноподобно неполно.
Доказательство. Предположим, что все непространственнопо-добные геодезические (М, g) являются полными. Согласно предложению 11.39, пространство-время (М, g) является сильно причинным, а по теореме 11.18 каждая непространственноподобная геодезическая имеет сопряженные точки. С другой стороны, теорема 7.13 обеспечивает существование непродолжаемой максимальной непространственноподобной геодезической. Но тогда эта геодезическая свободна от сопряженных точек, что и приводит к противоречию. ?
Напомним, что контур будущего (соответственно прошлого) подмножества S пространства-времени (M, g) задается соотношением E+ (S) = J+ (S) \ /+ (S) (соответственно ET (S) = J~ (S) \ \ Г (S)). Ахрональное множество S называется ловушечным для будущего (соответственно ловушечным для прошлого), если E+ (S) (соответственно Е~ (S)) компактно. Сформулируем условия, приJlO
Гл. 11. Сингулярности
которых существование ловушечного множества влечет причинную разделяемость.
Предложение 11.42. Пусть (M, g) — хронологическое пространство-время размерности ^3, каждая непродолжаемая изотропная геодезическая которого имеет сопряженные точки. Если (М, g) содержит ловушечное для будущего (соответственно для прошлого) множество S, то (М, g) причинно разделяемо контуром E+ (S) (соответственно E- (S)).
Доказательство. Предложение 11.39 показывает, что (М, g) сильно причинно. Если предположить, что S является ловушечным для будущего, то следствие 7.16 приводит непродолжаемую в будущее времениподобную кривую у в область Коши будущего D+ (E+ (S)). Продолжим у до времениподобной кривой в^М, g), непродолжаемой как в будущее, так и в прошлое, сохранив за полученной кривой прежнее обозначение у. Тогда у пересекает ахрональное множество E+ (S) ровно в одной точке г. Как^и в доказательстве предложения 7.18, выбираем две последовательности \рп\ и \qn\ на у, которые расходятся к бесконечности и для каждого п удовлетворяют соотношению рп г qn. Чтобы доказать, что \qn] и E+ (S) причинно разделяют (уИ, g),