Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Если ?: [a, b]-+(M, g) — направленная в будущее изотропная геодезическая, у которой ?' (а) = En (р) (или ?' (а) = = ?„_! (р)) в р ? Я, то касательные векторы E1 (р), ..., En (р) в р можно параллельно перенести вдоль ? так, чтобы получить псевдоортонормированный базис вдоль ?, за которым сохранится то же обозначение E1, ..., En. Поэтому множество векторов, ортогональных ?' (Z), представляет собой пространство N (? (Z)), натянутое на E1, ..., ?„_2, ?', и мы можем построить факторпро-странство G (? (Z)) = N (? (Z))/[?"(Z) I с соответствующим ему факторрасслоением G (?), как и в разд. 9.3. Обозначим через п: N (?) -> G (?) отображение проектирования. Тогда n TpH: TpH -> G (? (а)) является изоморфизмом линейных пространств. Значит, оператор второй фундаментальной формы Le: TpH ->
-> TpH можно спроектировать в оператор Le.: G (? (а)) -> G (? (а)), полагая
Le. = поLe. о (я 1'ТрЯ)"1 для 1 = /г—1,/г.
Пусть a: [a, b] х (—є, є) -*¦ (М, g) вариация изотропной геодезической ?, такая, что a (a, s) ? H для всех s, —є < s < є. Пусть V = a* d/ds и W = а* d/dt. Потребуем, чтобы W (a, s)""= = En (a (a, s)) для всех s, —є < s < є. Тем самым соседняя кривая а (•, s) начинается в a (a, s) на Я и имеет начальное направление, задаваемое изотропным вектором En (a, (a, s)) для всех s.
Вычислим"V' (а).
Лемма 11.30. Пусть, как и выше, V = ajdlds касательно к H при t = а и произвольном s. Tozda V' (а) = —L?.(a) (F (а)) + + ^?' (а), где % R —некоторая постоянная.
Доказательство. Из равенств [V, W] = (? d/ds, a* d/dt] =
= [d/ds, d/dt] = 0 получаем, что yvW = VwV = V&-V при t = a, s = 0.
12* JlO
Гл. 11. Сингулярности
С другой стороны, в силу условий W (a, s) = En (a (a, s)) и g (Еп, En) = 0 имеем 0 - У (g (W, W)) = 2g [VvW, W) «
= 2g (VWV, W) = 2g (V?- V, ?'), где t = a, s = 0. Поэтому
Vp, ia)V?N($(a)) = TpH © [?' (а)].
В силу включений Lp< (о) (У (а)) ? 7>(а)Я и Vp-(а) V ? ? N (? (а)) для получения сформулированного результата достаточно показать, что
g (L?4a) (V(O))f г/) = -g (VP4o)V, У)
для любого У ? Tp (а)Я. Чтобы вычислить g (Lp' (а) (У (а)), у), продолжим у до локального векторного поля Y вдоль кривой s -> a (a, s), касательного к Я. Тогда
g (L?4a) (V(a)), г/) = g (VvY |(а,о), ?») =
= g(VvY, W)\la,0)=at4[a0)(g(Y, W)-
- g (Y, VvW)) |(0. o) = 0 - g (Y, VwV) |(0, о, = = —g (У, Vp4o) V).
Здесь мы воспользовались равенством а^ d/ds | (0, 0) (g (Y, W)) = = 0, которое справедливо вследствие того, что g (Y, W) = = g (У, Ln) = 0 вдоль кривой s -> а (а, s).
Если У — якобиево поле, измеряющее девиацию конгруэнции изотропных геодезических, перпендикулярных Я, то из последнего результата вытекает, что векторный класс V = я (У) вдоль ? должен удовлетворять начальному условию
V' (a) = -Lp. (0)?(fl)
в точке р = ? (а) ? Я. Здесь Lp- = я 0Lp- ° (я | TpH)-1, как и выше. Это обосновывает следующее определение фокальной точки вдоль изотропной геодезической, перпендикулярной Я (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 113), Бёлтс (1977)).
Определение 11.31. Пусть Я — пространственноподобное подмногообразие размерности п — 2 и ?: [а, b] -> (М, g) — изотропная геодезическая, ортогональная Я в точке р = ? (а). Тогда i0 ? (а, Ь] называется фокальной точкой для Я вдоль ?, если в G (?) существует гладкий якобиев класс J, для которого J' (а) = -Lp4fl)/(а) и J (t0) = 0.
Выше мы отметили, что времениподобная геодезическая, ортогональная пространственноподобной гиперповерхности, не может быть наидлиннейшей непространственноподобной кривой к этой гиперповерхности после первой фокальной точки (см. предложение 11.29). Аналогичный результат справедлив и для изотропной 11,3. Фокальные точки
341
Рис. 11.3. Пусть (M, g) —трехмерное пространство-время Минковского с сбыч-ной метрикой ds2 = — d/2 + Л2 + dy1. Пусть H — окружность радиуса а на плоскости ху. Тогда H — пространственноподобное подмногообразие кораг-мерности 2. Для каждой точки q ? H существуют ровно две направленные в будущее изотропные геодезические ?x и ?2, проходящие через q ортогонально Н. Фокальной точкой для H вдоль P1 будет точка P1 = (0, 0, а), а фокальная точка вдоль ?2 точка р2 = (0, 0, —а). Точка уг лежит на P1 за P1. Все точки из H \ {q} содержатся в хронологическом прошлом точки уг. Тем самым существуют времениподобные кривые, исходящие из точек H в Ух произвольно близко к q, и ?i [<?. Уі\ не реализует расстояние от H до Iji.
геодезической, ортогональной (п — 2)-мерному пространственно-подобному подмногообразию (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 131), Бёлтс (1977, с. 123)). Мы сформулируем этот результат в виде следующего предложения.
Предложение 11.32. Пусть H — пространствен ноподобное подмногообразие (М, g) размерности п — 2 u?: [а, Ь] -* (М, g) — изотропная геодезическая, ортогональная к H в ? (а). Если /„ ?
(а, Ь) — фокальная точка для H вдоль ?, то существует времениподобная кривая из H в ? (b). Таким образом, ? не максимизирует расстояние до H после первой фокальной точки.
Простой пример фокальной точки приведен на рис. 11.3.
