Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
[(Vo/dsV, с'(a)) = g(Vd/dsa.-^-, 1I1 а)!^,,) =
^""))1.0,-gKI-' Wloa)
(а,0)
Ввиду того что д ds |(а, <,) касателен к Я, получаем, что g (? dids, rj о а) |(а. s) = 0 для всех s. Поэтому
с'(а)) = — Vd/dSi]°a)
(fl.O)
= —g {N(a), VN{a)r]) = —g(X, =
— —X |p (g(X, і])) -j- g (Va'X |p, Г](а)) = = 0 f g (Va-X \p, c' (a)) = g (Lc. (fl) (N), N),
как и требовалось. Здесь мы воспользовались тем, что величину X |р (g (X, і])) можно вычислить так:
^)) = ±(g(X.,y(s), Tl (S))) Ц = А (0) = о
в силу того, что X |р — а^ dids |(а,о). ?
Ввиду следствия П.27 индекс Ifi (V, V) векторного поля V вдоль времениподобной геодезической, ортогональной простран-ственноподобной гиперповерхности, целесообразно определить следующим образом (см. Бёлтс (1977, с, 94)). 11,3. Фокальные точки
337
Определение 11.28. Пусть с: [a, b\-+(M, g) — нормальная времениподобная геодезическая, ортогональная пространствен-ноподобной гиперповерхности Я в точке с (а). Пусть Z — кусо-чно-гладкое векторное поле вдоль с, ортогональное с. Если Z (а) Ф 0 и Z (b) = 0, то индекс Z относительно H задается формулой
MZ1 Z) = / (Z, Z) + g (Le. (Z), Z) |а,
где
k-1
1(Z, Z) = \bag(Z" + R(Z, с') с', Z) |td/+? g (Zft), A,.(Z')).
t=0
Пусть a: [a, M x (—є, є) -> (M, g) — вариация времениподобной геодезической с. Предположим, что векторное поле вариации V = O^dZdsI(ClO) удовлетворяет условиям определения 11.28. Тогда из формулы (9.4) разд. 9.1 и следствия 11.27 вытекает, что L" (0) -- ///(V, V). Это можно записать в следующем виде:
= Ih (V, V).
Используя индексную форму 1Н, можно показать, что времениподобная геодезическая, ортогональная пространственноподобной гиперповерхности Я, не может максимизировать длину дуги от Я после первой фокальной точки. Напомним, что V1 (с) состоит из кусочно-гладких векторных полей вдоль с, ортогональных с.
Предложение 11.29. Пусть с: [а, Ь](М, g) — нормальная времениподобная геодезическая, ортогональная пространственно-подобной гиперповерхности H (без края) в точке р = с (a) H. Если для некоторого th ~ (а, Ь) точка с (th) является фокальной точкой для H вдоль с, то существует векторное поле вариации Zf V1 (с), у которого Z (а) касается Н, Z (b) = 0 и Ih (Z, Z) > > O. Следовательно, найдутся времениподобные кривые, идущие из H в с (Ь), которое длиннее, чем с.
Доказательство. По предположению существует нетривиальное якобиево поле J1 вдоль с, ортогональное с, у которого J1 (/й) = 0 и Jl (а) = —LC-WJі (а). Определим кусочно-гладкое якобиево поле J вдоль с следующим образом:
_I Л(0> если a<.t<.th,
\ 0 если th < / < b.
В силу неравенства Ath (Jf) Ф 0 можно построить гладкое векторное поле V, ортогональное с и такое, что V' (a) = V (а) =
12 Дж. Бим, П. Эрлих JlO
Гл. 11. Сингулярности
= V (b) — О и g (V (4), Af (/')) = —1. Определим векторное поле Z в V1 (с) по правилу
Z = ^-J-rV для r€R\|0}. Тогда Z' (а) = —Lc- (Q) Z (а), и индекс Ih (Z, Z) вычисляется так: Ih (Z, Z) = / (Z, Z) g (Lc (Z)1 Z) \а = I (Z, Z) + f g (Lc' (ГУ - гУ), ГЧ - rV) |а = = /(Z, Z)Tr2g(L,/, У)|а = = /(Z, Z) + r-*g{-J', J) Ia = = r4(J, J)->-r4(V, V) -2/(./, V)-f + І)|й = г/(У, V)-2I(J, V).
Здесь мы воспользовались тем, что
/(J = Ї g(A,.(A J(U)) = g(J', J)\a¦
1=0 y '
Из того, что J является кусочно-гладким якобиевым полем, можно воспользоваться соотношением (9.4) разд. 9.1 для вычисления / (J, V):
I (J, V) =g(V(tk), Sth (Г)) = -1;
следовательно,
In (Z, Z) = гЧ (V, V) + 2.
Полученное равенство показывает, что для достаточно малых г ф 0 индекс удовлетворяет условию
Ih (Z, Z) > 0.
Из этого последнего неравенства и условия Z' (а) = —Lc (а) (Z (а)) вытекает существование малых вариаций кривой с с векторным полем вариации Z, которые соединяют fl с с (Ь) и имеют длину, большую длины с. ?
Обратимся теперь к фокальным точкам вдоль изотропных геодезических, ортогональных (п — 2)-мерным пространственно-подобным подмногообразиям. Если H — пространственноподобное (п — 2)-мерное подмногообразие, то метрика, индуцированная на TpH, положительно определена, а метрика, индуцированная на Tp Н, является двумерной метрикой Минковского для каждой точки р Q Н. Поэтому существуют ровно две изотропные прямые, проходящие через начальную точку в TpH. Так как ориентация во времени пространства-времени (М, g) индуцирует ориентацию во времени на Tp Н, то для каждого р Q H в Tp H существуют два 11.3. Фокальные точки
339
корректно определенных изотропных направления в будущее. Тогда локально можно выбрать гладкий псевдоортонормированный базис векторных полей E1, ..., Еп_ъ En на Я так, что En^1 и En являются направленными в будущее изотропными векторами в Т?Н, где р Є Н, т. е.
g (Eh Ej) = Sij, если 1 с і, /<о — 2, g(Eu En_1) = g(Eh En) = 0, если Utcn-2, g (Еп, En) = g (?п_ь Еп_0 = 0, g (Еп, ?„_!) = -1.
Изотропные векторные поля і и En, определенные на Я локально, можно поднять до операторов второй фундаментальной формы Leii и Leti соответственно, которые являются локально определенными (1, 1)-тензорными полями на Я.
