Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 146

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 167 >> Следующая


нужно убедиться в том, что для каждого п всякая непространственноподобная кривая к: [0, 1 ] -> (УИ, g), у которой к (0) = рп и к (1) = qn, встречает E+ (S). Продолжим заданную кривую к до непродолжаемой в прошлое кривой к, проходя по у вплоть до рп, а затем по к от рп до qn. Так как qn ? D+ (E+ (S)), то кривая к должна пересекать E+ (S). Из того, что у встречает E+ (S) только в г, следует, что к пересекает E+ (S). Это рассуждение доказывает предложение для случая, когда множество S является ловушечным для будущего. Аналогично разбирается случай, когда S является ловушечным для прошлого. ?

Теорема 11.41 и предложение 11.42 приводят к основной теореме Хокинга и Пенроуза (1970, с. 538).

Теорема 11.43. Ни одно пространство-время (М, g) размерности ^3 не может удовлетворять одновременно всем трем следующим требованиям:

(а) (М, g) не содержит замкнутых времениподобных кривых.

(б) Каждая непродолжаемая непространственноподобная геодезическая в (М, g) содержит пару сопряженных точек.

(в) В (М, g) существует ловушечное множество S либо для будущего, либо для прошлого.

Этот результат Хокинга и Пенроуза позволяет сформулировать следующий результат, весьма близкий к теореме 11.41. 11.4. Существование сингулярностей

347

Теорема 11.44. Пусть (М, g) — хронологическое пространство-время размерности ^3, удовлетворяющее типовому и сильному энергетическому условиям. Если (M, g) содержит ловушечное множество, то (M, g) является непространственноподобно неполным.

Напомним, что замкнутая ловушечная поверхность — это компактное пространственноподобное подмногообразие размерности п — 2, для которого след обеих изотропных вторых фундаментальных форм L1 и L2 либо всегда положителен, либо всегда отрицателен (см. определение 11.34).

Предложение 11.45. Пусть (M, g) — сильно причинное про-странство-время размерности ^3, удовлетворяющее условию Ric (V, v) ^ 0 для всех изотропных векторов v ь TM. Если (М, g) содержит замкнутую ловушечную поверхность Н, то справедливо по меньшей мере одно из утверждений (1) или (2):

(1) (М, g) содержит ловушечное множество.

(2) (М, g) изотропно неполно.

Доказательство. Допустим, что (М, g) изотропно полное. Тогда на основании следствия 11.36 можно заключить, что хотя бы одно из множеств E+ (H) или Е~ (H) является компактным. Рассмотрим случай, когда компактно E+ (H). Положим S = = E+ (H) П H и покажем, что множество S является ловушечным для будущего. Заметим, что S ахронально в силу ахрональ-ности E+ (H) и компактно как пересечение компактных множеств.

Из соотношения E+ (H) = J+ (Н)\}+ (H) следует, что множество S непусто в том и только том случае, если H содержит точки, не лежащие в I+ (H). Однако если бы H целиком содержалось в /+ (H), то существовало бы конечное покрытие компактного множества H открытыми множествами I+ (P1), ..., I+ (рп), где все P1 Q Н. Но это означало бы существование замкнутой времениподобной кривой в (М, g) (см. доказательство предложения 2.6), что противоречило бы сильной причинности (М, g). Следовательно, S Ф 0.

Чтобы показать, что множество S является ловушечным для будущего, достаточно доказать равенство E+ (S) = E+ (H). Мы убедимся в его справедливости, показав, что /+ (S) = I+ (H) и J+ (S) = J+ (H). Покроем для этого компактное множество H конечным числом открытых множеств JJ1, ...,Uh из (М, g), каждое из которых является выпуклой нормальной окрестностью, и никакая непространственноподобная кривая, покидающая Ui, никогда не возвращается.

В силу того что H — пространственноподобное подмногообразие, можно допускать, что каждое Ui П H является ахрональ-ным (этого можно добиться, выбирая U1 достаточно малым). JlO

Гл. 11. Сингулярности

В силу включения SaH ясно, что I+ (S) с= I+ (H). Чтобы доказать обратное включение I+ (H) <= I+ (S), предположим, что q ? I+ (H)\I+ (S). Тогда найдется P1 ? Н, для которой P1 < q. Но pi ? Ui (і) П H для некоторого і (1). Из того, что q ф. /+ (S), имеем P1 ф. S и, следовательно, P1 ф. E+ (H). Тем самым существует р2 ? Н, связанное с P1 отношением рг рг. Так как Ui (и П П H ахронально, то рг Ф Unо- Значит, р2 ? Uiw П H для некоторого і (2) Ф і (1). Вновь из условия q ф. I+ (S) получаем, что р2 ф. E+ (H). Тем самым найдется р3 ? Н, для которого Рз Pf Кроме того, по построению множеств Ui имеем P3 ф Ф Un 1) л Ui (2)- Поэтому Рз t Uu3) п н для некоторого і (3), отличного и от і (1), и от і (2). Продолжая в том же стиле, получим бесконечную последовательность P1, р2, Рз, ... точек из H и соответствующие ИМ множества (У; (1), Ui (2), Ui (3), ..., где і (J1) Ф і (j2), если Z1 Ф j2. Это противоречит конечности числа множеств Ui в данном покрытии. Следовательно, I+ (S) — I+ (H). Остается показать, что J+ (S) = J+ (H). Заметим, что J+ (S) <= с= J+ (H) в силу S с= Н. Предположим поэтому, что q ? J+ (Н)\ \ J+ (S). Тогда q ф. I+ (S) = I+ (H), и, следовательно, найдется направленная в будущее изотропная кривая, идущая из некоторой точки р ? H в точку q. Из того, что р ^ H и р ф. /+ (H), в силу условий р < q и q ф. I+ (H) имеем р ^ E+ (H). Поэтому р ^ E+ (H) П H = S. Отсюда следует, что q ? J+ (S). Последнее включение приводит к противоречию. Тем самым показано, что S является ловушечным множеством для будущего.
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed