Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
(«5)
2'Г W (г + 1)_ (ж - Ifft * ' - 1
(86) 2(« + »> • <« D Г (2+2,)
О
(87)
О 3 21 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕЖАНДРА 135
Выражения дли ?1}
К О* bt Ct Заиечаниа
о» bi Ci
(32) 1 -Z — V 1-й 1 + Я (37), 2.10(2)
2 — * 1+v 1-І»
(33) 1 + * — V 1+v 1-м (36), 2.10(2) Верхний или нижний знак берется в зависимости от Im Z^gO
2 - V 1 + V I-IX
(34) Z-I 1— v —»—11 l-n (36), 2.10(1)
г + 1 — V — V +(1 l+t
(35) г + 1 1 + V 1+,+ц 1+11 (36), 2.10(3)
г- 1 I-I-V 1+V-l! I-H
(36) 2 1+v-d 1+v 2 + 2» (41), 2.11(17)
1 + г
(37) 2 1 + . + Ц 1+. 2 + 2v (36), 2.10(6)
— ФУНКЦИИ TFJKAHflPA (Гл 3
і иражевия дли е '"''{!'(г)
Ai
At
(38) 2-1+* Г (^.-Irll7a -
о-1-!1..» ,>'« Г(1+» + іі)Г(-ІІ) 2 <г » ril+v-dl
(<») »-l-ViTi-' Dd-'/f-C/s' Г(1+» + « Г(,+4)
0
(40) rf-i + - + ^ ^-^-l^il'/sXil-'-l) ,.. J - Й./8
і,-»я ,Y 2 ч
141) 2- 1 - У**" '-"-1V l.^* r('+v + f
0
[42)
(43)
TTJar+ fa l* * T (- l)(,/8> * ,1/8> Г (' + T + Т) \ 2 + 2 2 / 3 21 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕЖАНДРА 137
Выражения для в ''"'в'1 (г)
С "S ья «8 Замечания
Ot bt «4
|38> 1 - ZU 2 т 2 P-2 і р. 2 2 1 -ц (39), 2.1 ) 2i Re г > 0
-U-2 2 P- 2 2 2 1 +н
(39> I 2 т 2 Ii 2 1 v 2 + 2 2 '+4 (411 2 10(6)
1 -
(40! zа 2~ P-2 I v + 2 P-2 і 2 141). 2.10(2) Верхний или нижний знак берется в зависимости от Im z 0
1 v 2 2 P- 2 P-2 3 2
і411 1 Zi ' + T -1 + JL 2 2 ^ 2 -+4
(421 '-P- v P-2 1 v 2 2 P 2 I-H (38), 2.10(6)
v 2" ^ 2 1 v 2 2 + 2 ' + I1
(43) „2 v P-2 v 2" ^ 2 . 1 2 (41), 2.10(3( Верхний или нижний знак берется в зависимости от
Z2 _ 1 1 v 2 2 и 2 1 v "2" T + T 3 2 !¦40 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [Гл. З
Выражения для г tIlnQU (г)
A3
A4
(44) ]/> 1) V^-If rVtxrt г(' + т)
о
(45) VIa1V і + і! 1 ' "rVt^ гКт)
о
(46) ^ 1 Г (рЛ (z* — I) ^itArVzZ-I)
a-'-1V if-*- rVVV10 Т Г (1 + , - fL)
(47) 2_ 1 + 11 Г И (,» - I)"^2 [* - Tf + Iі
2-1-^ D^u ет»-^ V+Vr1V
(48)
/52" 1 Г (1 + V + Pt) Г (-1- COS (*» -1)(- 1/a) - (V/2)
(49) *Yve+11 +111 (*» [)^[. + Ylz-Tf ' Р і? + \ 1 (I V — [Л J
-Я- ¦" J=Cos fr«) Г (. + V + w Г (- ± - v) (* - rt X X(H-I) + + » It 3 21 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕЖАНДРА 139
Выражения для
С о» bt CS Замечания
at ь. Ci
(44) -z+Vz'- 1 4 + » і 2"11 (41), 2.11(16)
2 Vz* - 1
(45) Z-Vza-I l + V+l! •+4 (44), 2.10(6)
z + Yz*- 1
(46) 2V«s— 1 -V-h 1 1-2(1 (44), 2.10(3) Re*>0
Z + Vzs - I -» + (І і + , 1-(-Jll
(47) 2 У Zi - 1 — v — n 1 1 —2(i (44), 2.10(2)
-z+Vz*-l -. + H 1+2(1
(43) « + Vz»-1 і T 1 T-' (44), 2.10(1)
I + '-. ' + *
(49) г + угз_ і і+* |l —V I- (48), 2.10(6) Верхний или нижний знак берется я зависимости от Im z ^ 0. Гипергеометрические ряды нигде не сходятся в разрезанной нлоско-сти
г-Гг»- I 1 T-I1 l + v-n -+4 !¦40 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [Гл. З
Таблица содержит 36 различных гипергеометрических рядов, каждый из которых является решением уравнения (1). Если применить к каждому из этих рядов преобразование 2.1(23), то пол>чим 36 дрігих гипері еометри-ческих рядов. Таким путем получаются 72 решения Олбрихта дифференциального уравнения (1) (Olbricht, 1888, стр. 1). Во всех этих формулах положено
(г»— If = (г— If (г +If, | arg(z ± 1)| <*, j arg г | <я <11) и, следовательно,
— г — I =«+'*(«+ 1), _z+1=^(2-1),
1— z» = e+h(z» — 1), (12)
где верхний или нижний знаки берутся в соответствии со знаком Im г. Из (1) следует, что определитель Вронского
W{1*(Z), Qf(z)} =Pf(z)-^Qf (z)-Qf (z)Pf (z) должен иметь вид -і. Значение постоянной можно получить, положив
і —Z
z = 0. Используя (22) и (40), получим *
w{PS(z), ой*»=-—; ;{ t V А- <1з>
На стр. 128—139 приведена таблица разложений, имеющих форму равенств (9) и (10).
3.3.1. Соотношения между функциями Лежандра. Из 3.2(3) вытекает, что
PS (Z) = Pt4 (Z). (1)
Из 3.2(5) и 3.2(8) следует
е'*« Г (V + (і + 1) Q-11 (z) = e-fc« Г (v — fj. + 1) Qf (z). (2)
И» 3.2(5) в силу 3.2(23) вытекает, что
QS (z) sin [я (V + (*)] — QU, _, (z) sin [я (V — ft)] = TtefP-* cos (ж) Pf (z). (3) Из 3.2(32) и 3.2(3) следует
Q S(Z)SinЫ = ^[р S(Z) - p^ (4>
потому
PTf- <5>
Pf (z) = j ^tlxw [к чг) + *^(1хк) (z) ] • (6)
Таким образом, если ц = т(т = 1, 2, 3, ...), то
рт (z) = Г(у+д + 1) р-т (г) (7>
i^w T(v — ні-+1) ' К)- w СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ ЛЕЖАНДРА 141
Из (5) и (3) выводим
^z) = lg'lrT+^+1) S,n (V-^ <*>
или, в силу 1.2(6),
0U v _ , (Z) - Of (г) = (?'<" cos (ук\ Г (v + |i + 1) Г (ft - v) P7 I1 (г). (9)
Из 33(15), 3.2(3) и 3.2(32) имеем
PJ (- г) = в + ™'PJ (г) - ^ sin [it (V + fi)] OJ (г) (10)
или
OJ (*)*-'<" Sin [* (V + (*)]= J [е+PJ (Z) - PJ (- Z)]. (11)
Следовательно, заменяя г на —г, получаем
OJ (- Z) = -e± ^OJ(Z). (12)
В формулах (10), (И), (12) верхний или нижний знак выбирается в зависимости от lmz^O.
Если заменить в формуле 3.2(3) г на г (г8 — 1) 2, t на —ft—в (і
