Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Так как — F (а, Ь; с; г)
ab
IrfQf (лг)
dx
^^= -, то из (И) и (12) следует
г[1 + 4+?
+ т+f)
rfPf (X) dx
=2(1+1
іЛГ
L sin [I (V + (,)].
-L _ — ±1 2^2 2
Г(1 + |+|
rfl + ^-u
V 2 2 2 Следовательно, из равенств (20) — (23) имеем
'(І+і+ЇПІ+І+Ї
(22)
(23)
:22^
Так как из п. 3.2 следует, что
(24)
dx
1-х2'
то постоянную С можно вычислить, положив лг = 0 и использовав равенство (24). Получаем
PfM-^QfM-QfM3I р;м|=
'(¦+І+тмт+ї+т)
:22!1-
l'+i-f
(25)
3.6. Тригонометрические разложения для Pf (cos б) и Qf (cos 0)
Положив в 3.2(45) г = cos 0 ±г'0, Yzi — 1 = е 3
sin o, получим
й""iIxnOf (COS 0 ± Ю)Г (v + J- j = /тс 2" Г (v + (і + 1) T ^lt х
XtsinojV^'+' + ^/^+ti, 1 + V + (А; . + |-;Й+і2Є). (1)3.5] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 147
Следовательно, в силу 3.4(8) и 2.1(2), P^ (COS fl) = V 211+1 (Sin 9^ r(V/+!Xt^1) X
~ (y+AO+v+U)!
х 2 —../ . з\—sin 1(21++1)9]- (2)
1=0
Точно так же из 3.4(2) следует QJ (cos 0)= /^(Sine)I11^v + ?* + 1) у
T(v+2
Х Z /-3~\-cos [(2/+ V+ (г+ 1)0]. (3)
Оба ряда сходятся при 0 < 0 < те. Точно так же получаем из 3.2(44) «-<-<?; (es. ± ,or (v + I) = /^ X
и, следовательно, в силу 3.4(8), 3.4(2) и 2.1(2),
г(. + |) Pf (00,.) = /^1(,+, + 1) X
(-„ х
S Л (2sin O/U + -|Л
X Sin |"(v + / + + (-1 + 1). + І- /.J, Г (, + A)Qf (cos 0) = YrffFГ(V + . + 1) X
S /! (2smo)^v +4)
(5)
(6)!¦40
ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [Гл. З
Из равенства (4) можно усмотреть, что разло.кения (5) и (6) сходятся при
g<9<Jj?. Из формул 3.4(5) и 3.2(20), 3.2(7) и 3.2(3) соответственна пол)чаем
Г (1 — ft) Pf (cose) =
=(iH vIT+T-ih-T-fi1-« <sine4
(7)
o<e<J
Г(1 — ц) PJ (cos 8) =
== (-i- an в)"11 ^l + V—ft, — v—де 1— K (dn-g-)"!. 0 < в < ті, (8) Г (1—ft) Pf (cos 6) =
= (ctg"5"T/?f~V' v + 1—w (-4)1. 0<9<«- (9>
Формула для (cos 8), удобная, если в мало (MacDonald, 1914, стр. 220), имеет вид
РГ" ( COS в) = + COS yj"11 X
X {Ур. (a) + ( Sta -і)2 [I J^i (a)-J^1 (а) + 1 J^1 (а) j + О [( sin|} .(10) 0
Здесь a = (2v + 1) sin у и /х (а) означает функцию Бесселя (см. гл. 7 . Это выражение может быть получено, если записать 3.4(6) в виде
P-^w =(Iziff У 1У,_г (» + « + !>_(izi?)
' w — Vl 4- лгУ r r(v — л+1)Г(ц + и+1) 2лп\
п=.0
Г(ч + И+1) . 1
и выразить ^ через степень ч + у.
3.6.1. Частные значения и и v. Если ц — положительное целое число, (jL = m(m = l, 2, 3,...), то из 3.3(7) и 3.2(7) следует
r(v — m + 1) ml Pf(z) =
— 1 \ = 2-"»r(v-fm + l)(zs — l)2 F(l + m + v, m—r, 1+ro; у — у], (1)
и нз 3.4(5) и (1):
Г(ч — ro + l)m! Pf(Jc) =
® . j ¦ = (-2)-T(v+m +1)(1-Je8)2 F fl+m+v, т — х 1 + m; у —у]. (2)
Теперь рассмотрим случай, когда v—целое число. Из равенства 3.3(1) следует, что достаточно рассмотреть случай, когда v = я — неотрицательное целое чнсло. Будем различать следующие три случая:
1) Есги — не является натурачьгым числом, то гипергеометричесний ряд в 3.2(3) есть мноючлен степени я относительно г.3.5] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 147
2) Если ц = т, т=1, 2, 3, ... и п^т, то справедливы формулы (1) в (2) и гипергеометрические ряды, входящие в эти формулы, являются многочленами степени п — ш относительно г.
3) Ьсчи [а = m, т = 1, 2, 3,... и т>п, то функции Pf (г) и Pf(Jf) тож-дестьенно равны нулю. Однако Г(ч — ja -J- l)Pf (z) и Г(м — ц+1) Pf(лг) стремятся к конечным пределам, когда ц — т, ч—- п.
Принято писать: PJ (г) = Pv (г) и т. д. Часто Pv (г) и Ov (а) называют
функциями Лежандра, Pf (г) и Of (г) — присоединенными функциями Лежандра.
Из 3.2(7) имеем
= p[l + -H1; у-т). <3>
Если продифференцировать равенство (3) т раз по z (и = 1, 2, 3, ...) и принять во внимание 2.1(7), 1.20(5), 3.2(7) и 3.3(7), то получим
^ (imp (z\
Pf (*) = (*»-ш = і, 2, з,..., и, следовательно, в силу 3.3(11) и 3.2(8),
Of (z) = (г» - 1)Т т = 1, 2, 3,... (5>
Из (4), (5), 3.4(2) и 3.4(5) след>ет
= !>•(!_*.,* (6,
Qf (jf) = (-1)-(1-**)? -?^-,
dxm
m= 1, 2, 3,— 1 <.x< 1.
(7)
Далее, из (3), 2.1(7) и 3.2(7)
_/Я 2 2
P,-""(г) = (Ss-I) 2 J...jP,(«)(<W, (8>
Я» ,
<?Гт^) = {- I)" («* - 1) 2S ... S О, (z)(dzr, (9>
OO OO
* я
KmW = (- 1)то-**) 2J...JР,(X)(dxr.
(10>
Если — натуральное число, ц=т(т= 1, 2, 3,...), то выражение &2(32* теряет смысл и его значение определяют с помощью правила Лопиталл150 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [Гл. 3
В результате (Гобсон, 1952, стр. 205) получаем 2я -Of««
¦sin (vit)
р? (Z) [in - 2Т - * (v + т +1) - Ф (v - т +1)] -
sin ,
т
-к- т—1
1 r(r->r<r + v+l) Г(*-г)
г = 0
т
— со
(*+1\2 у Г(Ю + /-у)Г(« + / + у + 1) /1 *Y"+I
-IcTJ 2 -- 2 j -
т
Г(у + /я + щг-1\2 vi Г(г-у)Г(г + у + 1) , 1 «у пп -Г(у-«+1)\нП] 2 г\(г + т)\ + Tj ' (И)
г=0
где
а(0 = 1+-5- + ... + у ==^(/+1)--1/(1) = + (/ + 1) + Tf, ?(0) = 0.
Если (і—отрицательное целое число, то можно использовать 3.3(2) и (11). При лі =0 (И) дает
Q4 (z) = 1Р, (г) [to g^) - 2ї - 2* (у +1)] -