Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 41

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 87 >> Следующая


Так как — F (а, Ь; с; г)

ab

IrfQf (лг)

dx

^^= -, то из (И) и (12) следует

г[1 + 4+?



+ т+f)

rfPf (X) dx

=2(1+1

іЛГ

L sin [I (V + (,)].

-L _ — ±1 2^2 2

Г(1 + |+|

rfl + ^-u

V 2 2 2 Следовательно, из равенств (20) — (23) имеем

'(І+і+ЇПІ+І+Ї

(22)

(23)

:22^

Так как из п. 3.2 следует, что

(24)



dx

1-х2'

то постоянную С можно вычислить, положив лг = 0 и использовав равенство (24). Получаем

PfM-^QfM-QfM3I р;м|=

'(¦+І+тмт+ї+т)

:22!1-

l'+i-f





(25)

3.6. Тригонометрические разложения для Pf (cos б) и Qf (cos 0)

Положив в 3.2(45) г = cos 0 ±г'0, Yzi — 1 = е 3



sin o, получим

й""iIxnOf (COS 0 ± Ю)Г (v + J- j = /тс 2" Г (v + (і + 1) T ^lt х

XtsinojV^'+' + ^/^+ti, 1 + V + (А; . + |-;Й+і2Є). (1) 3.5] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 147

Следовательно, в силу 3.4(8) и 2.1(2), P^ (COS fl) = V 211+1 (Sin 9^ r(V/+!Xt^1) X

~ (y+AO+v+U)!

х 2 —../ . з\—sin 1(21++1)9]- (2)

1=0

Точно так же из 3.4(2) следует QJ (cos 0)= /^(Sine)I11^v + ?* + 1) у

T(v+2

Х Z /-3~\-cos [(2/+ V+ (г+ 1)0]. (3)

Оба ряда сходятся при 0 < 0 < те. Точно так же получаем из 3.2(44) «-<-<?; (es. ± ,or (v + I) = /^ X



и, следовательно, в силу 3.4(8), 3.4(2) и 2.1(2),

г(. + |) Pf (00,.) = /^1(,+, + 1) X

(-„ х

S Л (2sin O/U + -|Л

X Sin |"(v + / + + (-1 + 1). + І- /.J, Г (, + A)Qf (cos 0) = YrffFГ(V + . + 1) X

S /! (2smo)^v +4)

(5)

(6) !¦40

ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [Гл. З

Из равенства (4) можно усмотреть, что разло.кения (5) и (6) сходятся при

g<9<Jj?. Из формул 3.4(5) и 3.2(20), 3.2(7) и 3.2(3) соответственна пол)чаем

Г (1 — ft) Pf (cose) =

=(iH vIT+T-ih-T-fi1-« <sine4

(7)

o<e<J

Г(1 — ц) PJ (cos 8) =

== (-i- an в)"11 ^l + V—ft, — v—де 1— K (dn-g-)"!. 0 < в < ті, (8) Г (1—ft) Pf (cos 6) =

= (ctg"5"T/?f~V' v + 1—w (-4)1. 0<9<«- (9>

Формула для (cos 8), удобная, если в мало (MacDonald, 1914, стр. 220), имеет вид

РГ" ( COS в) = + COS yj"11 X

X {Ур. (a) + ( Sta -і)2 [I J^i (a)-J^1 (а) + 1 J^1 (а) j + О [( sin|} .(10) 0

Здесь a = (2v + 1) sin у и /х (а) означает функцию Бесселя (см. гл. 7 . Это выражение может быть получено, если записать 3.4(6) в виде

P-^w =(Iziff У 1У,_г (» + « + !>_(izi?)

' w — Vl 4- лгУ r r(v — л+1)Г(ц + и+1) 2лп\

п=.0

Г(ч + И+1) . 1

и выразить ^ через степень ч + у.

3.6.1. Частные значения и и v. Если ц — положительное целое число, (jL = m(m = l, 2, 3,...), то из 3.3(7) и 3.2(7) следует

r(v — m + 1) ml Pf(z) =

— 1 \ = 2-"»r(v-fm + l)(zs — l)2 F(l + m + v, m—r, 1+ro; у — у], (1)

и нз 3.4(5) и (1):

Г(ч — ro + l)m! Pf(Jc) =

® . j ¦ = (-2)-T(v+m +1)(1-Je8)2 F fl+m+v, т — х 1 + m; у —у]. (2)

Теперь рассмотрим случай, когда v—целое число. Из равенства 3.3(1) следует, что достаточно рассмотреть случай, когда v = я — неотрицательное целое чнсло. Будем различать следующие три случая:

1) Есги — не является натурачьгым числом, то гипергеометричесний ряд в 3.2(3) есть мноючлен степени я относительно г. 3.5] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 147

2) Если ц = т, т=1, 2, 3, ... и п^т, то справедливы формулы (1) в (2) и гипергеометрические ряды, входящие в эти формулы, являются многочленами степени п — ш относительно г.

3) Ьсчи [а = m, т = 1, 2, 3,... и т>п, то функции Pf (г) и Pf(Jf) тож-дестьенно равны нулю. Однако Г(ч — ja -J- l)Pf (z) и Г(м — ц+1) Pf(лг) стремятся к конечным пределам, когда ц — т, ч—- п.

Принято писать: PJ (г) = Pv (г) и т. д. Часто Pv (г) и Ov (а) называют

функциями Лежандра, Pf (г) и Of (г) — присоединенными функциями Лежандра.

Из 3.2(7) имеем

= p[l + -H1; у-т). <3>

Если продифференцировать равенство (3) т раз по z (и = 1, 2, 3, ...) и принять во внимание 2.1(7), 1.20(5), 3.2(7) и 3.3(7), то получим

^ (imp (z\

Pf (*) = (*»-ш = і, 2, з,..., и, следовательно, в силу 3.3(11) и 3.2(8),

Of (z) = (г» - 1)Т т = 1, 2, 3,... (5>

Из (4), (5), 3.4(2) и 3.4(5) след>ет

= !>•(!_*.,* (6,

Qf (jf) = (-1)-(1-**)? -?^-,

dxm

m= 1, 2, 3,— 1 <.x< 1.

(7)

Далее, из (3), 2.1(7) и 3.2(7)

_/Я 2 2

P,-""(г) = (Ss-I) 2 J...jP,(«)(<W, (8>

Я» ,

<?Гт^) = {- I)" («* - 1) 2S ... S О, (z)(dzr, (9>

OO OO

* я

KmW = (- 1)то-**) 2J...JР,(X)(dxr.

(10>

Если — натуральное число, ц=т(т= 1, 2, 3,...), то выражение &2(32* теряет смысл и его значение определяют с помощью правила Лопиталл 150 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [Гл. 3

В результате (Гобсон, 1952, стр. 205) получаем 2я -Of««

¦sin (vit)

р? (Z) [in - 2Т - * (v + т +1) - Ф (v - т +1)] -

sin ,

т

-к- т—1

1 r(r->r<r + v+l) Г(*-г)

г = 0

т

— со

(*+1\2 у Г(Ю + /-у)Г(« + / + у + 1) /1 *Y"+I

-IcTJ 2 -- 2 j -

т

Г(у + /я + щг-1\2 vi Г(г-у)Г(г + у + 1) , 1 «у пп -Г(у-«+1)\нП] 2 г\(г + т)\ + Tj ' (И)

г=0

где

а(0 = 1+-5- + ... + у ==^(/+1)--1/(1) = + (/ + 1) + Tf, ?(0) = 0.

Если (і—отрицательное целое число, то можно использовать 3.3(2) и (11). При лі =0 (И) дает

Q4 (z) = 1Р, (г) [to g^) - 2ї - 2* (у +1)] -
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed