Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
QfW = ^.«»» (И —1)т J (1— о»)"(г— »r'PfWd®, (32)
¦V + (* = 0, 1, 2,..., Re р. < 1 не лежит на отрезке вещественной оси [—1, 1]. Другое обобщение (Wrinch, 1930, стр. 1037)
1
Pn (г) Qm (г) = У ^ (Z-V)'1 Pn (V) Pm (V) dv,
п^т, г не лежит на вещественной оси между —1 и 1, я, т — целые. Производящая функция для многочленов Лежандра имеет вид
oo _
2 bnPn (Z) для I h I < min I г ± /га —11, /»>= О
_ (33)
2 Irtt-lPn(Z) ДЛЯ |Л|>таі VrZt-II.
л = 0
Это легко может быть установлено путем разложения функции (33) в ряд соответственно по возрастающим и убывающим степеням h и применения •формулы (16) (обозначения см. п. 3 15).
С другой стороны, если z = ch (и 4- lv) (a, v вещественны), то ряд
|] ^a9n(z)
я = О
сходится при \h \ Ceta. Подставляя сюда выражение (30) для Qa(z) и используя (33), получаем
оо і _ J_
2 Qn (Z) Л» = у J (z-V)-1 (1 - 2А» + Л') 2 dv,
(1 — 2hz + k3)3.7]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
15?
ИЛИ
OO
I (1-2^ + ^10('-*+^^ + *' ]. (34)
я = 0
Из 3.4(2) следует, что я=0
Дальнейшие результаты в случае целых значений ц и v см. в гл. 10 и II11 а относительно результатов о присоединенных функциях Лежандра, для которых сумма степени и порядка является натуральным числом, см. п. 3.15 и MacRobert, 1943, стр. 1; 1947, стр. 332.
3.7. Интегральные представления
Из 3.2(7) и 2.12(10) вытекает, во-первых, что
-I со
^W = r(-V/!lv)r(v + i) Wchtf^(shЇ)2,+Іdt* (U
0
Re(— (i)>Rev> — 1,
где z не лежит на вещественной осн между —1 и со. Точно так же из 3.2(45) и 2.12(14)
Г(v-n + 1) Г (p+Y) W-^V*2"11Г (V + ^+ 1) (г»-1)7 X
OO
X ^ (г + /г2 — 1 Ch (sh ty* dt, (2).
Г (»-vi + 1)Г ^ + IJ Qf (ch «) = _ 00
=^" Yя 2- T (ч + н +1) (sh ^ (ch в + sh a ch t)^'1 (sh f)1* dt. (3),
Обе формулы справедливы, если Re(v ±ц+1)>0.
Делая в интервале (3) подстановку ev =• ch в + sh в ch t и применяя 3.3(2)ц получаем
Of(Cha) =
в>0, Re(v + (i+1)>0, RefK-I-. Далее, из &2(36) в 2.12(8) следует, что если г не лежні на вещественно^1? ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА (Гл. 3
<¦(4* между —1 И 1, ТО
Of (Z) = е<""2- * - 1 ^ JipJy^ (*»-1)"'
«
X ^ (z+cos (sin 0*v+1 dt, (5)
Rev> —1, Re(v + (i+l)>0.
Pf (г) = 2|t(g' . —r ( (z + Y * - 1 cos <)«i» (sin O-2"- dt, (6)
Re(i<~
Из (6) вытекает
Pf (che) = —2р-(сМ "• C (sjn t) -m (ch а _)_ sh a cos t)^ dt, (7)
Re(i<y.
Поэтому, после подстановки ch a + sh a cos t = ev, имеем
а
(8)
V (Cha-Chof + ^
Другие интегральные представления получаются в результате рассмот-
г (»+і)» — р- —Ї рения интеграла \ еч ' (che — ch о) dv, взятого вдоль контура
прямоуголы ика с вершинами (±с, 0) и (dt с, /я), в котором сделаны вырезы з точках (±а, 0). і'стремля'і с — со и используя равенство (8), пол)Чаем интегральное представление для Pf(cha). Заменим в формуле v на —1—v и сложим поддающиеся выражения, после чего применим 3.3(1). В результате получим
OO
Sta(IMt)ChJ^v + у) <J
г г)
I
?• н-
(chi — che)
+ 2
( sin (vtt)
J (ch t
in(v,t)ch^v+l)
—р-'йі 0_ (chf + chc)'14""2
Re |л < у, Re (v + |i + 1) > 0, Re — v; >• 0.
(9)3.7]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
15?
Если в формуле 7.8(6) заменить / . (/) выражением 7.3(31) и изменить порядок интегрирования, то получим
(ft (Z) = у= (г* - 1)?" Г [у. + X
* _ _ I
X j ^ (2 —cos t) 2 cos + -Ij t^dt -
о
— cos (vit)^ (2 + ch/) 2e \ 2> dt |t (10)
Ren>—i, Re (v + (a + 1) >0,
где 2 не должно быть точкой вещественной оси, лежащей между 1 H ОО. Следовательно, из 3.3(9) имеем
' (1- у ,rtv + ^ijr^-,) х
оо _ _ 1
X j (2 + Ch t) 2 Ch + -Ij ^ dt, (11)
Re((A— v)>0, Re(n + v+1)>D,
где 2 не является точкой вещественной оси между —1 и —оо. Применяя преобразование Уиппла 3.3(13) к (11), получаем
OO
Ov (2) = е'"" r;<HH?t) J (Z + /5ПГГ Ch ^r-' ch ДО du (12) О
Re (v ±[л)> — 1, чф— 1, —2, —3,... Применяя 3.3(14) к (10), имеем
TL
П1 W = [ij (Z - Zi5^Tcos ^ cos ДО dt +
о
<Х> ___
+ sin (рис) \ (2 + /г2 — I ch ty e^dt , (13) Re(v+ix)<c0, Re г > U, Re V < 0.158 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [ГЛ З
Следовательно, если ц— целое число, ц = m(m = О, I, 2, ...)(см, п. 1.2.3), то
1С
р? M = + J (* ¦+ K^=Tcos ty cos (mt) dt, (14) О
Re 2 > 0.
Это равенство может быть записано в виде
«с
pVm^=???1 J (* + /?=Тсов0»е»Л; (15)
Re г > 0.
Делая подстановку *=Ф—ф, получаем
2ж
P?(z)cos (тї) = ^ifii^IJ [«+/?=Гсов(Ф-ф)Г а»(я®)<*®,(1в)
о
Rez>a
2с
Р? (s)sin (тф) = у*+ COS(Ф- ф)]' sin (тФ) d<S>, (17)
Re z > 0.
В случае, когда ф = 0, (16) может быть распространено на все значения т и Rev>— 1 (Erdelyi, 1941, стр. 351).
В случае m = О обобщение формулы (16) имеет вид (Уиттекер — Ватсон, 1962, п. 15.71)
P4 (ZZ' — V (Z3-I)(Z1-I)COS <Ю =
2* _ _
= (2*:)-1 ^ Iz + У Zft — 1 COS (ф — Ф)]' (Z' + у (*'* — 1 соэФ)-""1 <*Ф, (1?
Re z > 0, Re z' > 0.
Другие выражения для (г) могут быть выведены из полученных здесь результатов с помощью 3.3(1).
С помощью 3.4(5), 3.4(8) и 3.4(2) можно получить аналогичные выражения для P1S(X) и Of(Ar). Из 3.4(8) и (2) получаем, полагая z= cos в,