Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 43

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 87 >> Следующая


QfW = ^.«»» (И —1)т J (1— о»)"(г— »r'PfWd®, (32)

¦V + (* = 0, 1, 2,..., Re р. < 1 не лежит на отрезке вещественной оси [—1, 1]. Другое обобщение (Wrinch, 1930, стр. 1037)

1

Pn (г) Qm (г) = У ^ (Z-V)'1 Pn (V) Pm (V) dv,

п^т, г не лежит на вещественной оси между —1 и 1, я, т — целые. Производящая функция для многочленов Лежандра имеет вид

oo _

2 bnPn (Z) для I h I < min I г ± /га —11, /»>= О

_ (33)

2 Irtt-lPn(Z) ДЛЯ |Л|>таі VrZt-II.

л = 0

Это легко может быть установлено путем разложения функции (33) в ряд соответственно по возрастающим и убывающим степеням h и применения •формулы (16) (обозначения см. п. 3 15).

С другой стороны, если z = ch (и 4- lv) (a, v вещественны), то ряд

|] ^a9n(z)

я = О

сходится при \h \ Ceta. Подставляя сюда выражение (30) для Qa(z) и используя (33), получаем

оо і _ J_

2 Qn (Z) Л» = у J (z-V)-1 (1 - 2А» + Л') 2 dv,

(1 — 2hz + k3) 3.7]

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

15?

ИЛИ

OO

I (1-2^ + ^10('-*+^^ + *' ]. (34)

я = 0

Из 3.4(2) следует, что я=0

Дальнейшие результаты в случае целых значений ц и v см. в гл. 10 и II11 а относительно результатов о присоединенных функциях Лежандра, для которых сумма степени и порядка является натуральным числом, см. п. 3.15 и MacRobert, 1943, стр. 1; 1947, стр. 332.

3.7. Интегральные представления

Из 3.2(7) и 2.12(10) вытекает, во-первых, что

-I со

^W = r(-V/!lv)r(v + i) Wchtf^(shЇ)2,+Іdt* (U

0

Re(— (i)>Rev> — 1,

где z не лежит на вещественной осн между —1 и со. Точно так же из 3.2(45) и 2.12(14)

Г(v-n + 1) Г (p+Y) W-^V*2"11Г (V + ^+ 1) (г»-1)7 X

OO

X ^ (г + /г2 — 1 Ch (sh ty* dt, (2).

Г (»-vi + 1)Г ^ + IJ Qf (ch «) = _ 00

=^" Yя 2- T (ч + н +1) (sh ^ (ch в + sh a ch t)^'1 (sh f)1* dt. (3),

Обе формулы справедливы, если Re(v ±ц+1)>0.

Делая в интервале (3) подстановку ev =• ch в + sh в ch t и применяя 3.3(2)ц получаем

Of(Cha) =

в>0, Re(v + (i+1)>0, RefK-I-. Далее, из &2(36) в 2.12(8) следует, что если г не лежні на вещественно^ 1? ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА (Гл. 3

<¦(4* между —1 И 1, ТО

Of (Z) = е<""2- * - 1 ^ JipJy^ (*»-1)"'

«

X ^ (z+cos (sin 0*v+1 dt, (5)

Rev> —1, Re(v + (i+l)>0.



Pf (г) = 2|t(g' . —r ( (z + Y * - 1 cos <)«i» (sin O-2"- dt, (6)

Re(i<~

Из (6) вытекает

Pf (che) = —2р-(сМ "• C (sjn t) -m (ch а _)_ sh a cos t)^ dt, (7)

Re(i<y.

Поэтому, после подстановки ch a + sh a cos t = ev, имеем

а

(8)

V (Cha-Chof + ^

Другие интегральные представления получаются в результате рассмот-

г (»+і)» — р- —Ї рения интеграла \ еч ' (che — ch о) dv, взятого вдоль контура

прямоуголы ика с вершинами (±с, 0) и (dt с, /я), в котором сделаны вырезы з точках (±а, 0). і'стремля'і с — со и используя равенство (8), пол)Чаем интегральное представление для Pf(cha). Заменим в формуле v на —1—v и сложим поддающиеся выражения, после чего применим 3.3(1). В результате получим

OO

Sta(IMt)ChJ^v + у) <J

г г)

I

?• н-

(chi — che)

+ 2

( sin (vtt)

J (ch t

in(v,t)ch^v+l)

—р-'йі 0_ (chf + chc)'14""2

Re |л < у, Re (v + |i + 1) > 0, Re — v; >• 0.

(9) 3.7]

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

15?

Если в формуле 7.8(6) заменить / . (/) выражением 7.3(31) и изменить порядок интегрирования, то получим

(ft (Z) = у= (г* - 1)?" Г [у. + X

* _ _ I

X j ^ (2 —cos t) 2 cos + -Ij t^dt -

о

— cos (vit)^ (2 + ch/) 2e \ 2> dt |t (10)

Ren>—i, Re (v + (a + 1) >0,

где 2 не должно быть точкой вещественной оси, лежащей между 1 H ОО. Следовательно, из 3.3(9) имеем

' (1- у ,rtv + ^ijr^-,) х

оо _ _ 1

X j (2 + Ch t) 2 Ch + -Ij ^ dt, (11)

Re((A— v)>0, Re(n + v+1)>D,

где 2 не является точкой вещественной оси между —1 и —оо. Применяя преобразование Уиппла 3.3(13) к (11), получаем

OO

Ov (2) = е'"" r;<HH?t) J (Z + /5ПГГ Ch ^r-' ch ДО du (12) О

Re (v ±[л)> — 1, чф— 1, —2, —3,... Применяя 3.3(14) к (10), имеем

TL

П1 W = [ij (Z - Zi5^Tcos ^ cos ДО dt +

о

<Х> ___

+ sin (рис) \ (2 + /г2 — I ch ty e^dt , (13) Re(v+ix)<c0, Re г > U, Re V < 0. 158 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [ГЛ З

Следовательно, если ц— целое число, ц = m(m = О, I, 2, ...)(см, п. 1.2.3), то



р? M = + J (* ¦+ K^=Tcos ty cos (mt) dt, (14) О

Re 2 > 0.

Это равенство может быть записано в виде

«с

pVm^=???1 J (* + /?=Тсов0»е»Л; (15)

Re г > 0.

Делая подстановку *=Ф—ф, получаем



P?(z)cos (тї) = ^ifii^IJ [«+/?=Гсов(Ф-ф)Г а»(я®)<*®,(1в)

о

Rez>a



Р? (s)sin (тф) = у*+ COS(Ф- ф)]' sin (тФ) d<S>, (17)

Re z > 0.

В случае, когда ф = 0, (16) может быть распространено на все значения т и Rev>— 1 (Erdelyi, 1941, стр. 351).

В случае m = О обобщение формулы (16) имеет вид (Уиттекер — Ватсон, 1962, п. 15.71)

P4 (ZZ' — V (Z3-I)(Z1-I)COS <Ю =

2* _ _

= (2*:)-1 ^ Iz + У Zft — 1 COS (ф — Ф)]' (Z' + у (*'* — 1 соэФ)-""1 <*Ф, (1?

Re z > 0, Re z' > 0.

Другие выражения для (г) могут быть выведены из полученных здесь результатов с помощью 3.3(1).

С помощью 3.4(5), 3.4(8) и 3.4(2) можно получить аналогичные выражения для P1S(X) и Of(Ar). Из 3.4(8) и (2) получаем, полагая z= cos в,
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 87 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed