Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
_Г(б+1-.С)Г(1-б) .л(й+1_с) гвди
~ Г (2 — с) Г (а + 1 — 6)
eiztc~a> T(c-a)T(l-b) _ Г(Д)Г(С-а) ія, Г(1-6)Г<а)
е Г (с + 1 — а — 6) Щ- Г (с) Г(а + 1-6)"3'
Г (а + 6 + 1 — с)
_Г(Д + 1-С)Г(1-а) .л(а+1_с) Г(6)Г(1 а)
- Г (2-е) + е Г (6 + 1 — а) (du)
Є Г(с+1— а— Ь)
_Г(1-6)Г(6+1-с) ..„„-й,Г(«-«)Т(6 + 1-с)
- Г (2 — с) Г(6+1-а) 4' ( '2.9J РЯДЫ КУММЕРА И СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ 115
>141 — а)Т(с — ft)
''"i^rWi=
_ Г(1-«)Г(« + 1-е) ыn_at T(c-b)T(Q + l-c)
- Г (2 — с) Щ + Є Г (a +1 — b) (Sl)
Г (с) Г (с — а — b) Т(с)Т(а + Ь-с) _ Ul-T(c-a)T(c-b)Us+ Г (а) Г (Ь)
_Г(с)Г(»-д) Г (с)Х (а-ft) " Т(с-а)Т(Ь)и» + Г (с — ?) Г (в) "4'
—Г(в + 1—в)Г<» + 1 —с) "1+-Г(а)Г(6)-(<Й)
- r(ft+l-c)r(ft) Є Г(в+1 — с)Г(а) '
_ Г(1—д)Г(д+1—») _ Г (с) Г (1 с) Г (a -f-1 — ft) _ 7)
"» — X1 (1 — ft) Г (в + 1 — с) и» Г (2 — с) Г (в — ft) Г (в) е ( '
r(g+l-a-ft)r(g + ft-c)r(a + l-ft) ¦ _
- Г(1 —ft)T(e —ft)r(e + ft + l-t) * "а w
T(a + b-c)T(a+l-b) Ысс_6 Г (а -)- 1 — с) T (а) 6 ""
r(l-c)r(l+ft-a) т(с)Т(1-с)Т(Ь+\-а) { _
Г(1 — а)Г(1 -)-ft — с) 1 Г (2 — с) Г (с — а) Г (ft) * b~ W -r(C + l-a-ft)r(a + ft-g)r(ft + l-a) Jltft _ ~ Г(1 — а)Г(с — a)r(a-|-ft-|-l— с) '
r(a + ft-C)r(ft+l-a)
r(ft-|-1 — е)Г(6) * U» (4U)
Г(2-с)Г(с-а-») Г (2 e) Г (a -j- ft — с)
Г(1—в)Г(1—ft) "8+r(a+l-c)r(ft + l-c)Ue_ ^1'
- Г (2-с) Г (ft-а) ¦ г (2-с) Г (a-ft) -.„.« Ш)
Г (1 — в) Г (ft I — с) 8 + Г (1 — ft) Г (а 1 — с) "4> ( '
Т(с+\-а-Ь)Т(\-с) Г(с+1 —а —1)_____
~~ F(1 — а) Г (1 — ft) Г (в — а) Г (с — ft) "5 ~ W
r(c+l.-a-ft)r(ft-a)е-'"и +
Г(1 —в)Г(с —а)
(44)
т Г(1— ft) Г (с — ft) *
Эти соотношения справедливы для всех значений a, ft, с, для которых гамма-множители, стоящие в числителях, конечны, и для всех значений г для которых соответств)ющие ряды сходятся, причем Im г >0. Первые, восемь из этих соотношений связывают три из фхнкций U1, щ, ..., ик, не имеющих общей области определения. Последние (двен<мцать соотнесший выражают функцию, которая определена в области D, через две фунщ и,1SO ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (Гл. 2
каждая из которых определена в одной и той же области D', причем D-фІУ. Эти формулы могут быть использованы для анатитического продолжения.
Если lmz<0, то знаки аргументов в экспоненциальных множителях формул (25)-(44) должны быть изменены на противоположные.
2.10. Аналитическое продолжение
Здесь приведены основные форматы для аначигического продолжения гипергеометрнческого ряда Общим считается случай, когда 1 — с, b —а и с —В —а не явчяются целыми (см. также 2.9(1)-2 9(4) и 2.9(3)-2.9(44))
F{a, Ir, с; z) = A1Fial Ir, л + ? —с+1; 1—г)+
+ Л(1— Zf-^-bFic-а, с — 1г,с — а—Ь+Ц 1 —z), (1)
j arg (1 — z)| <я; F(a, Ir, c, z)=B,(— z)-*Fia, 1 —c + ar, 1 — b+cr, гт1) +
+ Ba і- Zfb 1-с + й; \-a + b\ zr>). (2)
1 arg (— z)|<*;
F(a, Ir, с, z) = B1 (1 — г)-"F[e, e-b-, a— ?+1; (1 — гГ1] +
+ Bail-z)-bF[b, c~a; * —e + 1; (I-z)-»1, (3)
|arg(l—г)|<я; Fia, Ir, c, Zy=AlSTaFiat л + 1—с, л+J+l —e; I —zrl) +
+ AiZa-'(1 — Zfa41 Fic-a, 1 — er, e+l — a—b; 1—z~l), (4)
I arg z I < я.
Коэффициенты A1, As, B1 и Bi имеют следующий вид:
л - Г(с)Г(с-а—») . Г(Д)Г(а + ^-С)
Г (с — в) Г (с — Ь) ' 2 Г(в)Г(?)
(5)
й Г(с)Г(»-а) - _Г(с)Г(а-»)
Г0)Г(с —а) ' Сї~Г(й)Г(с — b)'
F(а, Ir, с; г) = Ц—z)~a fU c—b; с; е—ег, с;
(в)
Аналитическое продолжение F (а, Ь; с, г) в логарифмическом случае (числа /, т, я неотрицательные целые)
(— г)~а~т у (aWd-t+aWm ^n-, л , к , ¦ Г (с — a) Z п\ («+«)!-^"[to(-Z) + A„] +
я = 0
Ttl— 1
+«-*• I гТ-1-пИ^ ®
п = 0
— «<arg(—z)<*, с — а—нецелое; Л„ = <]>(1 + яі + я) + ф(1 + я)— ф(а + /и+я) — + (« — в — т — я) = »і|/(1 + т + я) + ф(І + я) — + (в + яі + я) — ф(1— с + а + п + т) +
+ «ctg («(е-а)], (8)2 10] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 117
причем сумма от нуля до т — F(a, я+m; a + m + /+l; z)-
причем сумма от нуля до т — 1 для т = 0 считается равной нулю,
Г(а + /и) _
Г(а + т + /+1)
со
=(-^(-^- 2 (g)"|"+m)u71)! *-" +
Я^І+l
т - 1
, V (т-п-1)Щп
+ ( ' L (т + / — л)1 я! ^ +
я = 0
I (-гГ*-"1 у (^(-W-Qff47, я[1, - . (9>
+ (/ + m)i Z (л + т)1 лі г [1п( 2) + Й»!' w
я = о
—я < arg (—z)<w;
Ai = lKl + » + n) + 4-(1 + л)-ф(а + т + л) — 4-(/ + 1 -л), (10)
f(n + l, л + т + 1; л + т + / + 2; z) =
__ (л + т + / + 1)1 (- 1)'*° d™ f ^ rf' Пп (1 - г)Ъ
~~ Лл!(л + ія)!(т + /)! dz^T ' dz*L * JP v ' 1
F(a, Ir, л + ft + m; z)
Г(й + * + т)--1
rW У а -г ,
Г(«+т)Г(й + т) ^ (1-т)„л! 11 +
я = О
¦ (1 2Y1 ( 1У" У (a + m)„(ft + m)„ , ,
+ Г(а)Г0) Z (л + т)1 л!-[A„-In(l-z)l(l-Z^ (12)
я=о
— л< arg(1 — z)<я, в, fc —1, 2,...;
й»= + (я + 1) + + (л + т+1)-'К« + п + '»)-'К* + п + т), (13) Я»-T
где 2 при т в 0 считается равным нулю,
? я = Q
ш - 1
_ Г (от) (1 — z)~m у (я—т)я(Ь — т)я - T(a)T(b) Zia (1 — /»)„ л! +
я — О
, (-1 )та У МаШл-.т , „ ч1/1 « /t,4
+ Г (в — m)T(b — m) Z (л + т)„л! 1йя - In (1 - z)] (1 - z)», (14)
n =SS О
— Жarg(l—z)<it, a, b, фО,—1,—2,..,;1SO