Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
ГК4)
Х^У + У + 1' Т + Т + Т' ' + TSr*). <5)
|2|>1.
Функции Pf (г) и Qf (г) называют соответственно функциями Лежандра первого и второго рода. Они однозначны и регулярны на «-плоскости, разрезанной вдоаь вещественной осн от 1 до оо Будем считать, что
I arg (г ± 1) I <*, I arg« | <« и (6)
U I1 E
(г»—I)2 = (г — l)?(zЧ- I)2.
Дифференциальное уравнение Лежандра остается неизменным, если заменить (л на — (л, г на — г и ч на — 1 — v. Следовательно, функции
(± г), Q^ (± г), Р^_,(:?г), 0?f_,(±*)
также являются решениями уравнения (1) (см. также п. 3.3.1). Применяя формулы 2.1(23) к (3) и (5), получаем
Г<1 -(X)Pf (2) = 2(1 («»- if1 F [l-H + Y, -P-*, I-W у-у).(7)
г v + l) 0^(2)=^2-'-' Y% r(v + (x + i)2T»-»+ii(z»—1) а X
х'(т+тЧг' '+T-f^+f.^) <8>
(о cnvчае, когда v или ц или оба индекса являются положительными целыми числами, см. п 36).
Используя формулы преобразования гнпергеометрической функции, данные в п. 2.10, можно выразить функции в формулах (3) и (5) различными способами в виде
Pf (г) = AlFialt bt; C1-, С) + AsF(es, bt, Ci С), | С | < Ij (9) (z) = AtF (at, ?,; с,; С) + AiF (а4, b4; Ci; Ї), | С | < 1, (10)
где С является функцией от г и зависит от выбора преобразования. Различные выражения вида (9) н (10) указаны в формулах (14)-(49) Последний столбец каждой таблицы ) называет метод вывода данною выражения из других. Например, (15) получается с помощью І9(Ц it И^ДДадее см, стр. 140.) 128
ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА Выражен» для Pjf (4)
ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [гл. 3
(14)
(15)
А, Ai
-i«/i_L
(2 + 1Г" («-D
T(I-I1)
Г (1 + 1. - ц) Г (- • - |і>
- T .In (v.)!»)(,- U+ІГ
(16)
а (* + 1) (г-1) г(1-„)
(17)
(18)
_ 3 - + I е± *» „ + tf/, „ _ „(- С/1) - • -
1_г (-IM_
г (і +, - ці г (-. -10
T а' +1 sin,»«) г („, е ± " - (, - к «"•> -' - ' і* + (Г ^s
Jl +1 .. , ,,Wll -'-1,, I,- I»/« Г (- і - 2у)
2 |г + '> Г (— ») Г (— V — |1)
і4 к +1)<">/1) + *<«- і)" -_r'' + 2v>
а («+1) V-') Г(|+»)Р(1 + »-ц) 3 21 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕЖАНДРА 129
Выражения для (¦ !J (г)
Ol »1 Cl Замсчэвн»
Os Ci
<!4) 1 - г 2 — * 1 + ' I-K.
t
(1?) > + г — V 1 + . 1 + И (14), 2.100) Верхний или нижний знаки берутся в зависи-сти от Imt^l
ї — V 1 + V )~Ц
<)6> г- ) г+> — ч ()4), 2.)0^6)
117) г + \ г— 1 1 + V ! + . + (і 1 + Р. (15), 2.10(61 Верхний и нижний знаки берутся в зависимости от )ш г^O
1+» ) + ,-(1 1-ц
.)8} 2 > + г 1 + » 1+V-I1 2 + 2v (16), 2.10(1)
— V — V —її -2«
5 Г. Бейтмев, А. ЭрдеЯи 130 функции лежандра [Гл з
Выражения для (г)
Ai
As
(19) „- vi if'1 с і)(_ + т г (1 +2v) (г+ ' (* ' г (1 -(- v) г (1 V — (ij
2' + 1 u + t)wl (* !г11'1' - v * 1 р , ^ Г (— ») Г (— V — ц)
(30) (г2 1г|,/,„ v г (1 - (і)
0
(21)
y^1 ' г (1 + v — (l)
(22) Чт-т-ЙЧ'+т-Й
(23)
aV 1 + ц-f/, rG"+") 3 vT ( ' га+*—rt
(24) ' U 4 * Г(1-ц)
0 1 3.2] РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕЖАНДРА 131
Выражения дли P^ (г)
С в» г-і Cl Замечания J
(? »» Cl
119) 2 1 - 2 — V —' + н -2» (14), 2.10(2)
1+, 1 + , + ц 2 + 2»
(20) 1 — я8 1 n H 2 + 2 2 V H 2 2 I-H (15). 2.11(2) Re 2>0
(21) 1 1 , » р. 2 2 2 -1 +J+-U J-C2-T2 '+4 (20), 2.10(2) ! і і I
1 — г8 2 2 » 1» 2 2 1 Т-»
(22) г* » (і 2 2 Л . JL_ Jt 2+2 2 1 2 I (20), 2.10(1)
1 •) ц 2 2 ~"2 1-I.J---^ 2 2 3 2
(23) 1 г* 1 , » (і 2 2 2 '+2 2 ' + і I (21), 2J0(6)
_ * H 2 2 1 JL I1 2 2 2 I-
(24) '-a и 3 1 V 2 2 H 2 l-p. (20),_2.10(6| Re *>0 ,
В* (32
функции лежандра
[гл 3
Выражения для
At
At
(251 уїЛ* «<«/•»»+.),.• і>,/а ,, ' '(W-fM1+*-?)
^+l^i^Xlv+'-l).,.» ,(»/.)-(«/.) 1
(26)
(27|
(28) A*» D "'V + T^—Г,+\ ,1 , Г(1 — ц)
0
(29)
0
130) Js.**ь V _, - % + V -(V, Jiiil
vi-1-,) irVv+ +tVsl Д 2 J * l*—
(31) -L.2 ^w.-., *t-утаг+»,Ь+Д
3 21 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕЖАНДРА 133
Выражения для ЯIJ (л,
«1 »1 Cl Замечания
а% »г C3
(25) * — "2 H 2 » ~ "2 + 2 1 2 (24), 2.10(2i Верхний или нижний зисік берется в зависимости от Im z 0
г*-\ 1 ч 2 2 H 2 1 і 2 2 + 1 3 2
(26) — г + Уг2 —1 1 2 (23), 2.11(16!
2УлЗ _ 1 1 2 і
(27) z- Vz« — 1 і + " 1+ v+|! '+! (26\ 2 10(6)
г+Y z'- 1 г + V- - » + И і Ї—
(28) 2 Vzf — 1 — » — и 1 і -г- I — 2і (24), '2 11,17) Re г>0
г + Уг®- 1
(29) 2 У гз - 1 — V — (1 1 2 -» 1 - 2ц (28). 2.10(6)
-z+Уг* - 1
|30) г + Vz' — 1 I J-* 1 у-' <28). 2.10(2) Верхний или нижний шах берется е зависимости от Im 2^0
2 У г- - I I -+I
>31) г 4-/JTZTf — V —11 1 2 -11 і J-" 129), 2 IO(I) Гипергеометрические рады нигде ис сходятся s разрезанной плоскости
г - Yi* - I 1+' -и 1 2 ^ -+Г 134 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [Гл. 3
Выражения для е ^tutQI1(Z)
А,
Ai
(32) ,. т , Г (1 +» + ц) Г (-Ц) « і) (z+\) аг и + ,-*)
г (,)(, + 1)^(.-Irwi
(33)
- 4 ^to г Ы(г-1)^(^+1,-^
(84) 2-1-'ги(г + 1), + №/ї)(г-іГ,'/ї
„-»-», _ , ,.(-n/d + v г(і+,+н)Г(-р.) 2 (* + I) (* 11 Г Cl + V — pt)
