Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
(Гл. 2
?„ = 4»(1+Я) + 4»(1+Я+») —+ (в + В)-ф(» + я)і (15)
т -1
где 2 ПРИ W = O считается равным нулю.
ii = o
Вырожденному случаю (одно из чисел а, Ъ, с — а, с—Ъ—целое) посвящен п 2.2.2
2.11. Квадратичные преобразования и преобразования высших степеней
Все квадратичные преобразования могут быть выведены из линейных преобразований п. 2.9 и преобразований специального вида, указываемых ниже (относительно области, где справедливы эти формулы, см. п. 2.1.5):
/Чл, Ir, а — Ь+ 1; z) =
= (1-3)-*/^ + i + (і)
P[2a,2lr, Й + 6+-І; z] = /7^ Ir, л+6+i; 4z(l-z)], (2)
f 1 1 z\ Г(л + * + т)Г(т) / 1 \
^2* й + 6 + + = j; z»)-
- »+?•• 4= 4 (3)
2* *) = (l-|f/7^. T + T^+r. <4>
F[a,1r, 2 Ir, Az (1 + z)-*] = (1+ z)2° F (a, a + y-fc S + -J-; z*}, (5)
+ 6,2z-z^ = (l—J-)"8"/7^. 2Й-6+1; b, (6)
Таблица Гурса квадратичных преобразований. Мы выбираем здесь для квадратного корня ветвь, принимающую положительные и вещественные значения, если z вещественно и 0s?z<l. Все формулы справедливы в некоторой окрестности точки z = 0.
МтМ'+'+тЬг .. 1', \
'MR)1
211] КВАДРАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
, 'й-(l+z)° F U Ъ; -Z =
т{а + ±)т(\-Ь) К 2 >
-ф* 1-? a+1-ft; ? + | j/"^] +
+ F^1 1-2? й + 1-ft, — Ij/^], (8>
---р—7-pr-y zF[a, b\ J, Zl =
= ф-1, »-1; a + b-Ь
-Г(2й-1, 2Л-І;Й + 6-І; І + І^), (9> + z) = F(2e,2fc e + o+i; і- (10>
b-,a + b + і; z) =
-(т+т^Р^2* —«+»+}¦; ySrr)' (11)
/7Je1 b-, a + b+^i — z) =
=(/F+z+ Vr z)-2eF(2e, o + O; 2e + 2b; 2 Vz + z2— 2z), (12>
F {в, b;a + b-±; *)«=
= (І-г)"Тфа-1, 2»— 1; a + o—і; 1-і (13)
F[a, fce + ft-i; z) = (l-zf T(i + -±-x
+ b-z) = (l+z) 2 С/Г+1+ /І)1"» X
X F(2e —1, л + ft—l; 2e + 2ft —2; 2 jAF+?—2z), (15) /^e1 л+і; c; z^ =
= (|-г)-»фв,2с-2в-1; c; 1-1(1-z) 2J, (16> 'л* ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ {Гя. 2
/>(«, в + 1; с, + V-ZTlaF [to, с—і; (17)
^(« + ft + l); «J = /7^, 4; + * + (18)
i(e + ft + l); 2] =
= (l_22)f[l + -J, 4 + 4. + 42(1-2)J, (19)
= (1-22Г^|4, y + f J l(e + ft+l); 42(2-l)(22-l)r"], (20)
e, ft; !(« + &+1); -2J =(VT+i+ /І)-»« ж
X 77Ь f + h a + 4 У 2(z+l)Orr+*+ У~*Гг], (21)
F (a, 1 — в; c; 2)= '
= (l-zr'4y-f, T^ + «"1* « 42(1-2)]= (22)
= (1-2ГІ(1-22)^[|- + |-, l(c+l-«X ?42(1-2)], (23)
/>(«, 1-а; c; 2) = (1-2^(1-22)°-'X
Х/?[Т~Т' T(c + 1-e); c; 4a^-OO-22)-«], (24)
F(a, 1-а; e; -2) = (1 +гГ1 (VrT+?+ V~гГ^ІС X
Х^|"с + в-1,с-і; 2c-l; 4/2(1+г)(KT+i +VrIrsJ, (25)
F (a, b; 2b\ г) = а
= (1-2)" ft-f; ?+1; ^(г-1)-|= (26)
= (l-|)(l+ . ( 4 + f ; ft + 4; ^) = (27)
-О-ТГ'ГТ' T + lS ' + f. ^VJ= <*>
-0--^(1-тГЧ'-Т (20)
fK fc 2? г) = (1-2)"tF[о, 26-а; * + (ЗО) 2.111
F (а, ft 2b; г) =
КВАДРАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
121,
Jt. + > кт=і)- ф »-4; (ітттЗ)']. *>
F(a, ft a — ?+1; г) =
= (1 1(а + \-Щ, a-b + l; _4г(1-г)-)], (32>
F(a, ft в —? + 1; «) =
F(o, ft в-Л+1; *)«(1+2)-"f[|, 4 + і; «-» + і; ^?*], (34), F(a, ft в—»+1: 2)=(1-2^(1+?)^^
|(e_2ft+2); в+1-і; (35).
F(e, ft в—? + 1; г)=
= (1 + Y-zr**F\a, a-b + l; 2a-2b +1; (36),
Кубические преобразования. Эти преобразования сводятся к преобразованиям (37), (38) и (39) с помощью 2.10(1)-2.10(6) и 2.11(1)-2.11(6)
2*(1 -г»)°(-2)-'аХ
- + *
ГТГ(в)
X
ЇИ*+Ї)
Г -5- r«
= (37)
За+} i*a = 3 3 е~ 2 Tl
X [г (2а + Ijj ~*р(а + і За; 2а +; ю-), (38)
W==Z-
1—2
Z — Є*
е = е
І
Знаки ± ставятся ори 1ш (— w) ^ 0. 422 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ [Гл. 2
Имеем также
|arg(—«)|<-j, Iarg(1 —г8)IС*, | arg(— w)| <| arg(l — ю)| <14 I w|>l, Re
= (1 + zy-™F|а-І-, a; 2а; 2z(3 + z«)(l +г)"«]. (39)
Гурса (Є. Goursat, 1881) дал большой список кубических преобразований. JVlbi воспроизводим здесь лишь рациональные преобразования:
Fifa, Зв + 1; <« + ¦§¦;
= (lа + у; л + -|; — 27««(1 -z)(9z-8)-], (40) />(зв, Зв+1; 2а + |; г) =
= (1-93)-'^!^ а+ 1; 2д + 1; — 27z(1 — г)2(1 — 9z)-2J, (41)
Fifa, в+ -J-; to + Y, z) =
= (l-^yaF[a, в + і; 2a +-27z'(z-4)-], (42) <р(зв> і-в; 2в + -g-; z) =
= (1 _4z)-'« F[в, a + і; 2в + ; 27z(4z- 1)-], (43) 1-а; і; z)= (l-z)"»F [а, 1-а; 1; ^(9-8z)'(l-z)"'], (44) F(3a)e+|;j;z) =
= (1-z)-"F[в, -J-в; _^(z-9)»(l-z)-], (45)
F{fa + 1 a + 1; z) =
eI1--JH^ir30-Me+j. (47) 212) ИНТЕГРАЛЫ 12i
2.12. Интегралы
і
Т(й)Г(с
Re с > Re b > О, I arg (1 — г) I < it;
^* с; г) = ,.,Jlt) j (1 - Oc"^1 (1 - tz)~«dt, <1>
(1+)
F(a h- r z\ - 'T(g) (b~c)\ Г tb-4X_tY-b-4itzYadt m
F(o, b, с, *>-2г<*)Г<е-*)яп[«(е-»)| J ( ' ( > '( >
Reft>0, I arg(1 —z)| <it, c-ft*l, 2, 3, ...; (0+)
= І ^v-t^-t^dt, (3>
Re с > Re ft, I arg (— z)I < я, ft* 1, 2, 3, ... ;
F (a, ft; с; z) =
(1+,0+,1-,0-) ^
-Г(с)еяр(-№с) f (1-у*-',
' 4 Г (ft) Г (с — ft) sin (itft) sin [it (с — ft)]
ft, с —ft*l, 2, 3, ... ;
F (a, b, c- 1-z) = ц J в6"10 + s)®-c (1 + sz)-°ds, (5>
о
Re с > Re ft > О, і arg z | < я;
OO
F (e, ft; c; z-') = rWr((CcL6) J (• ¦- 1^i"1 (s -2"Ta ds, (6>
1 + Re а > ReoRe ft, I arg (z —1)| < it,
