Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
иа —V—и сравнить с 3.2(44), то получим формулу Уиппла
<*<«) = «*• (¦?) r(v + (x +l)(z2-l) 4P
Re z > 0, (1?
которая эквивалента формуле
-- I 1
г(—,)PJ(«) -и*(і)2 - ігто:;:т ,
Re z > 0. (14)
Когда z изменяется вдоль линии, соединяющей точку веществевной оси,
такую, что г>1, с точкой мнимой оси, выражение z(z*—1) 2 изменяется вдоль линии, соединяющей точку вещественной оси с точкой разреза, лежащей между нулем и единицей. Так как функция Лежендра второго рода имеет разрыв на разрезе, то нужио ввести ограничение Re z > 0. !¦40 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [Гл. З
3.3.2. Некоторые дальнейшие связи с гнпергеоиетрнческнн рядом.
Из 3.2(3) и (11) следует, что
<?? (г) e-v* sin [я (v+ft)J Г (1 — (») =в
-т^Є^'Н"+* '-«т-т)"
-тЄїтГ^'+^-кт+т) <15>
и, следовательно, в силу (2)
Ji
«?Г(*)ГЧМГ<1 +rt = r(l + * + ц) (?) ГОл-v) X x[/?(-v, v+1; i+fl;i + i.)_
-^fh '+?1т-І)]. <16>
где верхний или нижний знак выбран в зависимости от Imz^O. Из (6), 3.2(3) и (16) следует:
¦Г(1+rtр?W=Г(V+^ +1) г 04Sta о») X x[>(-v, v + 1; I + ,,;! + -?-]-
от
где верхний или нижний знак берется в зависимости от ImziJO Представления (15) — (17) не относятся к типам 32(9) и 3 2(10), поскольку входящие в них гниеріеометрическне функции зависят от различных переменных
Если в 3 2(44) z обходит точку +1 в отрицательном направлении, получим новую ветвь функции, которую будем обозначать Of (г, 1—) В силу 32(11)
У"! Г +D^Qffc 1-) =
-- »4-і
= CT(V-J-P-J-I)(Zs-I) 4 (* + K^r-T)* 2X
Бели точка г лежит на вещественной оси справа от 1 или слева от—1, то аргумент гипергеометрической функции вещественен и больше 1. 3 4]
ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА НА РАЗРЕЗЕ 143
Из 3.2(32) имеем для той же функции е-ч(г, 1 —) =
2Г (1 —}— V — (х) \z+l) \ 2 J +
і
+ Irwe^ (і±|)2 1 + ,; 1 — (х; Ц^). (19)
Из (19), 3.2(32) и 3.2(3) вытекает, что
Qf (г, 1 —) — <ГЧ"(?? (г) = кіе'^Р* (z). (20)
Следовательно, в силу (18) и 3.2(44)
1 rKi)
, , -,Г-*-т I11 + Je-M 1 3 , z 4- У Z2 — 1\ ,
= 1г+у*-1] + 2уг,_1 ) +
+ Wl-VT=Ti^F? + ^-* 4 + v; -;+^).(21)
Далее, из (9), (20) и 3.2(44) имеем
Qjf (г) sin [к (s + V.)] Г - ^ = Y^ Г(!Х~? ^ X
4
х J cos ftrc)
[г+1/ 1]v+
P M . 1 1 г+ Т/г2 —1 \ .
д. * cos /I 1 . 1 —г+Т/га—1\] .90ч
(г— Yz^-Г) 2
Выражения (21) и (22) также не относятся к формулам типа 3.2(9) и 3.2(10).
3.4. Функции Лежандра на разрезе
Во многих приложениях нужны функции Лежандра при z — x, где — 1 < X -< 1 Отрезок [-—1, 1] будем называть в этом пункте «разрезом» и будем считать, что — 1 < х < 1 Для четного целого числа из 3 2(3) следует, что значения P^ (г) на обеих сторонах разреза равны между собой. В этом случае достаточно провести разрез вдоль вещественной оси от — 1 до — со. Во всех остальных случаях функции P^ (х — (0) и P^ (х Ю) различны
(через f(x ± Ю) обозначим lim f(x±is), g>0). Чтобы избежать двузнач-
«-<•0 144
ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [Гл. 3
пости, обычно пользуются модифицированными решениями уравнения 3.2(1). Будем обозначать их PJ (*) н QJ (дг):
. 1 • і,
1 o" Ч1* -TT iV-*
PfW=-J1* *?(*+#)+« J PJ(JT-TO) 1, (1)
-- I S Ii к
= 2 "Q* (x -HO)+ *2 ^OJ(AT-iO)], (2)
—1<JC<1.
В этих обозначениях формулы для P^ и QJ1 соответствующие аналогичным
формулам для PJ и OJ, могут быть получены нз формул предыдущего
пункта путем замени: г —1 на (I-Jcjei'*, г'—1 на (\.—х*)е-ы и г + 1 на л: + 1 (—1<jc<1) в соответствии с г = х±10.
Для этих функций справедливы следующие соотношения:
-Т<Н*
(3)
4 V* » *
(їй) Fh' Т-І)' <4>
— —- — /[и
е2 Р^(х+Ю)=е 3 Pj(jc—fO) = PJ (Jf), (5)
— 1 < X < 1,
PL,-і W=PJW. (7)
1I 1» ___ — /іде
е 2 OJ(jc + iO) —0J(* — /0) = fee^PJ(je), (8)
± 10) = е~ 2 ** [QJ (*) + І PJ wj, (9)
OH-rTOV(Irf)V'"+'4-І)+
?
+ , + 1; (10) _ _ rI 2 2 ' 2 2 ^ 2 ' 2 ' * j
'(і-і-їМ'+т-ї)
2x F f-___-_— l+^-u-i. ^
\ 2 2 2*2 2 ' 2 ' I
? і (1—je1)2 2-"1-^- PJW
ой 3.41
ФУНКЦИЯ ЛЕЖАНДРА НА РАЗРЕЗЕ
145
3Qf(JC) =
'(¦+т-lMM-fl
2Qf (де)зігф*) = *[ Pf (*)cos((**) -rfrljl+l) РГ* W]. (13) Pf (-*) = Pf <*) COS Hv + ,1)] - і Qf (X) Sin Iti (v + fx)], (14)
0 < X < 1,
Qf (-X)=- Qf (*) cos [71(. + fx)] -1PJ1 Wsin I« (, + (л)], (15)
0<лг<1,
(n-(X)I Q14_! W =
= sin I« (v + ft)| Qf (Jf) — Л cos (Vit) cos (ця) Pf (Jf), (16)
= Г (v - |i 4- (Jf) cos OW - ~ sin (tut) Qf (X)], (17) Г (v+ (1+1) Q7^(Jf) =
= —l)|^Qf (jf)cos(|Mt) + Y Pf (jfJsin(ft«)J. (18)
Равенство следует из:
(3) 3.2(3) н 3.2(12)
(4) 3.2(3) и 3.2(12)
(5) (3) и (4)
І (1), (3) и (4) (® (6) и 3.2(32)
(10) (8) и (2) (2) и 3 2(32)
(12І 3.? 2 J) (1) и 3.2(12)
3.2(ti) и 3 2(12)
щ S1S 3.3(.() (1) и (9) 3.1(10), (7) и (9)
3.3(12), (2) и (3)
in ('s) 3.3(3), (5) и (2)
(9) в (2)
При целых m и n из (14) и (15) следует, что
РГ<-*)«М -Ч^РЇЧ** Q2,<-A) = (-l)'4+n+1Q?W. (19) ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА При X = O из (И) и (12) вытекает 1
гіі + 1+f
(' + W) '
W-+-+iM
Lz J
V + 2 2
[Гл. $
(20)
(21)
