Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
*L [zn+c-1 (1 _ 2)i»-C] = (С)я ZC-1 (1 _ г)ь-с-п F( — n, Ir, C-, z). (17)
Элементарные соотношения
F (a, ft; с; z) = F(b, л; с; z), (18)
Ji^jr(C)Pf (a, b; с; z) =
= z"i-»F(a + n+ 1, ft+я+І; re+2; z), (19)
gi ft; c; z) =1?^5 F(a + П, ft + «; с + в; z), (20)
rf"
(e)„ z«-1 F (e + л, ft; c; z) = ^ Iz*+*"1 F (a, ft; c; z)], (21) 2 81 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 111
rf"
(с — п)п zc'in F (a, b-с-п-z)=~n Izc"1 F (а, 6; с; *)], (22)
(с — а)п Ze-"-1 (1 — z)«+"-®-» F (а — я, Л; с; z) =
= ' (1 - F (а, 6; с; z)], (23)
(c—a)„(c — b)n_z)a+ft-c-n F?. cz)_ (<0я
= JJ K1 - z)a+ /7 (л, ?:*)], (24)
(с)я
=?»1(1_гГ"1/?(а'b-e; z)1, (25) (c — n)n Zc-1'" (1 — zf~c F (a — n, 6; c — n; z) =
Hn
= [z~ (1 —zf-M F(a, 6; c; Z)], (26)
(e — я)„ Zc'1 ~n (1 — z)«+"-«"» F(a — n, b — tr, c — n; z) =
= [г«"1 (1 - *)°+b-c /7 (a, b-, с", z)}. (27)
Соотношения между смежными гипергеометрическими рядами в случае, когда два параметра постоянны:
(ic — a)F(a—1, b-, с; z)+(2a— с — az-\-bz)F(a, b; с; z) +
+ a(z— X)F(a+X, b-, c; z) = 0, (28)
(c — b)F(a, 6—1; c; z) + (26 — c— bz + az) F(a, 6; с; z) +
+ 6(z — X)F(a, b+ l; c; z)=0, (29)
c(c — \){z—\)F(a, b\ с — 1; z) + c[e — 1 — (2c — a — b— l)z] F(a, 6; с; z) +
+ (c — a)(c^-b)zF(a, b; e + l; z) = 0. (30)
15 соотношений Гаусса между смежными функциями (F обозначает F(a, b; с; z) н /'(л + І), /^ + l) и F(e±l) обозначают соответственно F(a ± 1, Ь; с; z), F (a, b± 1; с; z), F(a, 6; с ± 1; z))
[с — 2а — (b — a) z]F + а(1 —z)F(a+ \) — (с — а)Р(а—1) = 0, (31)
(й — л) F + л F (л +1) — ^ F (6 + 1) == 0, (32)
Z)(Л+1) 1) = 0, (33) c[a — (e — b)z\F—ac(\ — z)F(a+ 1) +(с — а)(с — b)z F (с+ 1)=0, (34)
(с — а— X) F+aF(a+X) — (c—\)F(c—\)=0, (35)
(с —a— b)F — (с— a)F(a— 1)+6(1- z)F(b-\- 1)=0, (36)
(6 — a)(X—z)F—(c — a) F (a— l) + (c — b)F(b —1)=0, (a7)
?(1-z)F— с F(a— l) + (c — b)zF(c + 1) = 0, (38)
[<j — 1 —(c — 6— l)z] F + te — a) F (a— 1) — (c—1)(1 —z) F(c —1) = 0, (39)
[<r— 2b + (6- a) z\F + b(X —z)F(b +1)-^-6)/^(6-1) = 0, (40) 1SO ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (Гл. 2
c[ft —(с —a)z]F—ftc(l—z)F(ft + l)-Hc —«)(« —&)г/*(с-И>=<>» (41) (с_?-l)f+$F(ft+l) —(с—l)F(c-l) = 0, (42)
с(1—z)F—е/^—1) + (с —a)z/--(c + l)=:0, (43)
а— I)*]F-He-b)F(b— I)—(с — 1)(1-z)F(c—l)=0, (44) с [с— 1— (2с— а — Ь— I)z]F + (c — а)(с — ft)zF(c-fl) —
—с(с—1)(1-a)F(e —1)=0. (45)
Формулы для частных значений г F(«, ft; с; П = г(с-(1)"г(с~»)' ^0,-1,-2,..., Rec>Re(a+ft); (46)
F(a,b-,\+a — ft; — 1) = 2-"
'(•-»+O'M'
1+а-ft^O,-1,-2, ...; (47) (а + 1)F(—a, I; ft + 2;-I) + (6-|-l)F(->> 1; а+ 2; -I) =
-^????*- « (48)
F(I, а; а +1; - 1) = 2а [ф (1 + -ф g)|; (49)
1 IX Г(в + * + т)Г(т)
F(2a, 2ft; a+ ft+ у; у) = 4-h / 1 » <М>
a+ft + y^O, -1'-?...;
1\ Г(6)Г(т)
Ffrl-g ft;-1=2^ 6*0,-1,-2,...; (51)
F^al 2ft; a + ft+1; ^ =
= /«Г(а + & + 1) f_1___1 \ (52)
— ' (r<a)r(ft + j) Т{а + ±)Т(Ь))'
a+ft +I :^0, -U-2, ...;
4\
-V 1 л , 3 1\ /8\8а * 1з)Г I2" + ?)
+ -1,-2..... 2.9j ряды куммера и соотношения между ними из
/ 1 о 1, /8\- Г(2й + §)Г(Й
2^ + ^0,-1,-2,..., (54)
ы.
f^ + i За; 2а + |-;е3) =
-a.*-.-**+»
(55)
К
pU + i. Зв; 2а+ \i в"*) =
'нда»'
2л+ -ж-^fe 0, — 1,—2,
2.9. Ряды Куммера и соотношения между ними 24 решения Куммера для гцпергеометрического уравнения имеют вид
U1=Pia, Ir, с; г)= (1)
==(1 -Zf-O-bFic-а, е—Ь; с; г)= (2)
і
= (l-z)-a F (а, e-b-, с, ^t)= (3)
=(1-^^--1,?^), (4)
us = P(а, Ir, л+»+1— с; 1 —г)= (5)
= г1~сР(а + 1—е, 6 + 1—с; л + » + 1 —с; 1—г)= (6)
= Z-aFia, а + 1 —с; a+b+l —с, I-Z-1)= (7)
= г-ьРф + \—с, Ir, й+»+1— с, I-Z-1), (8)
ц,=(— ZTaFio, а + 1— с; а+\ — Ь\ г'1)= (9)
= (— z)»-c (I-Z)c^b Fil-b, c — b; a + \—b-, sr1)= (10)
= O-ZTaFla, e-b-, й+1-ft; (I-Z)"1]= (11) = (- z)1-« (1 - z)«^-' F [a +1 — с, 1 — Ir, a + 1—b; (1—zT\ (12)
«4=(— гУ*Рф + \—е, Ir, ?+1-й; z-1)= (13)
= (— zf~c (1 — z)c'a~b F (I —а, с —a; b+l — a, г'1)= (14) IW ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЁСКАЯ ФУНКЦИЯ [Гл.2
= (1 — z)~b F [Ь, с — a; 6+1 — а; (1 —z)-'] = (15)
= (— zy-c (I-Z)^6-1 F [b + 1 — с, 1-а; b + 1 —сс, (1—г)'1], (16)
B6 = Z1-cFja + 1 — с, b + 1 — с; 2 — с; z) = (17)
= Z1-cO- z)c-a~b F(1-а, 1—6,2 —с; z)= (18)
= 2'-с(1— zf-ar-i F^0JrX-Ci i_ Ь; 2 — с;
= Z1-cO-Zf-*-1 F^b+ 1-е, 1 — а; 2— с;—(20)
ив = (1 — Zf-a^b F(e — а, с — Ь; с+1 — а — 6; 1—z)= (21)
= Z1-cO-Zfa^b F (I — а, 1—6; с+1—а —6; 1 —z)= (22)
= za~c (1 — z)«^«-6 F (с — а, 1 — в; с + 1 — а — 6; 1 — z"1) = (23)
= г&_с(1 — Zf-a^b F(с — 6, 1 — 6; с + 1—а —6; 1—г"1). (24)
Любые три из функций Btl ..., U8 связаны друг с другом линейным соотношением с постоянными коэффициентами. Это приводит к двадцати соотношениям, а именно
е Г(а + 6+1-с)
_ Г(6) Г(с - 6) Г (а + 1 - с) Г (с - 6)
- Г (с) Щ+Є Г (а +1 —Ь) (Щ
е Г(а + 6+1-с) 2 —
- Г (а) Г (с а) Ч(а+1_с) Г (6 + 1 с) Г (с а)
- Т(с) Щ+е Г (6 +1 — а) и*' (Д>) Г(I-A)a Г(6)Г(с-6) I ^,,-„.Г(1-а) ГШ
е Г (е + 1 — а — 6) Г (с) Г(6+1 —a)"4' Г(6 + 1-с)Г(а)„ _ Г (а + 6 + 1 — с)
