Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
it
F(a b- с z\-= 2Г(С) HsmQlfr-1 (cosO'^'"-1 A _
/•(e, ?, с, г)-Г(6)Г(с_6) I (i_zsm2 ()a l7>
F(e b• <T -). Tcr^ n^O'^Ml+COSQ^j
4 z^ fTSvrTHZiM I і I z YTat-
Y^TcoeV
2'-« Г (c) } (sin (1 _ cos t)tb~c ., ...
."e— "'< W
2'-'Г (с) Г (sin *)»"-"»-' (1 — cos tf ;r(ft)r(c-ft)j (^1.+ ^ 1SO ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (Гл. 2
„. . . 2 Г (с) f (cho)so_ic+1 (sho)se-sfr-' J
* С; г)=Щг(ЬТ)) [(cho)» —г]а-^ (9>
2»-« Г (с) f(sh <)и->с+і (ch i)2c-®-i»-i
f^ * с: ^~г(»)г(с—»)J Пг + ±Ла-dt' (10)
о
F(a ь¦ с- z) = 2^r*6) А
^**г) rWr(e-»>J П . + (П)
о
. , 2 Г (с) P0(sh(ch г*)*0"«*1 v
-f^ * « Z) = T(b)T(c-b) ) Uchvr-Z(L)']" dV' W
о
^ (в, T(b)I(c_b) J [1 + , + (1-1) Ch q« ** (13)
(14)
_ у-г> Г (с) f (sh ff*-»»' (ch t — 1)^-«-'
* С¦ Z)—?(b)V(c-b) 3 1(1 + z) + (1 z) ch^je ** о
оо
Па, Ir, с, g) = r(»)r((c-»)j "-"(I-^rft-1 (1 -Ze-tYadt. (15)
Формулы (7)-(15) справедливы, если
Re О Re ? >• 0.
Относительно других интегралов см. 2.4(1)—2.4(10), 2.1(34), 2.1(35) и 3.7, где ф)нкции Лежандра могут быть выражены через гипергеометрические функции. Относительно интегралов, приводящих к гипергеометрическим функциям, см. также гл. 7 (интегралы Сонина—Шафхейтлина и связанные ¦с ними интегралы). ГЛАВА З ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
3.1. Введение
—І.
Выражение (в2 — 2вг cos Y + г') 2 задает потенциал в точке P1 образованный зарядом, помещенным в точке А. Здесь г и а — расстояния точек P и А соответственно от точки О, и 7 — угол, под которым виден отрезок PA из точки О. Разложение этого выражения по возрастающим степеням г имеет вид
со
4-2р»(совЧт)" 0<'<а- (1)
п = 0
Коэффициенты Pre(COSY) этого разложения зависят лишь от cos Y (то есть не зависят от а н г) и являются многочленами степени я от cos 7. Эти многочлены были, введены в 1784 г. Лежандром н называются многочленами Лежандра.
Многочлены Лежандра и связанные с ними функции встречаются, например, при решении уравнения Лапласа, волнового уравнения или уравнения теплопроводности в сферических координатах г, 6, <р, определяемых формулами
jc=rsin Ocoe <р, =г sin 8 sin <р, г = г cos 6. В этих координатах
а,/ 1 д (. dV\ , 1 д ( . . dV\ , 1 d*V
дг)+ PrSTflЖ\ ИГ/ + г^Ж5!Sf>
И решение уравнения AF=O имеет вид V=R(r) Т(Ъ) F(у), где R, Т, F зависят только от г, 9, <р соответственно. При этом T удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
S+ct* 6 W+Ь+г=°- ®
где ц и м—постоянные, возникающие при разделении переменных. Подстановка С =Cos в приводит уравнение (2) к уравнению Лежандра степени v и порядка ц
(1 - S2) 2С ^+ [v (V + 1) - ^J Г= 0. (3)
Это же самое диффеоенциальное уравнение возникает для задачи потенциала в сфероидальных и тороидальных координатах; см. п. 3.13 и 3.14. !¦40
ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
[Гл. З
В С чае сферических координат ЧИСЮ C=COS 0 вещественно и чежит на отрезке [ 1, 1] Дч того чтобы потенциал бьп однозначной функцией, которая непрерывна и имеет непрерывные частные производные на сфере T = Const1 числа ц. и v должны быть цетыми Однако уравнение (3) встречается и в других задачах, когда нет необходимости ограничиваться тишь зі.чеииями С на отрезке [—1, 1] и цешми значениями ц и v Поэтом^ мы б>дем из\чать уравнение (3) при произво іьньїх ьещественных или комплексных значениях чисет С, ц, ч
Уравнение Лежандра встречается также в теории гипергеометрических функций В этой теории Установпеї'о, что если гилергеометрический ряд Tavcca допускает квадратичное преобразование, то гипергеометрическое дифференциальное уравнение может быть сведено к уравнению (3)
Совершенно иной подход использ\ется в теории ортогональных многочленов Многочлены Лежандра Pn(Z) явлчотся ортогональными на отрезке [—1, 1] многочленами, соответствующими весу р\х)= 1 Отсюда возникает связь с теорией интерпотяцин и механическими квадратурами Ортогональные многочлены с весовой функцией (1—t8)" на отрезке [—1, 1] также могут быть выражены через функции Лежандра (см. гл 10) В зтой главе основой для изучения функций Лежандра будет дифференциальное уравнение (3).
3.2. Решение дифференциального уравнения Лежандра
Функции Лежандра являются решениями дифференциального уравнения Лежандра
1)-^(1-2^1^ = 0, (1)
где Z1 V, р. могут принимать любые значения.
Подстановка и» = (г*—преобразует уравнение (1) к виду
(1_zi)S_2oi+1)z S+C-pH* + * + 1)® = 0- (2)
Еспн выбрать за независимое переменное C = -J---?г> то это дифференциальное уравнение примет вид
С(1+ +1)(1-2Q +<v-tf(* + (i+t)o = a
Это уравнение совпадает с уравнением Гаусса 2.1(1), где в=ц — v, 6 = р -J-+ v-f-1 и С = |1+ 1.
Следовательно, в силу 2.3(1), функция
?
—^Ю-З^^М-*' + 1' 7-т)' (3)
11—г I <2,
является решением уравнения (1).
Если сделать подстановку С = «1, уравнение (2) примет иид 3 21 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕЖАНДРА 127
Это также уравнение гипергеометрического типа, где e = -g-(|t + n + l),
? = — ¦»), с=у. Следовательно, в сипу 2.9(9), уравнение (1) имеет решение
P-
w = O1J(г) = ^K2-"-1 + Z-V-^-I (2г_ 1)2 х
