Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Существуют 15 приведенных множеств значений X, р, ч, при которых s (К, р, v; z) — алгебраическая функция. Эти множества были указаны Г А Шварцем (Н. А. Schwarz, 1873). Список Шварца (в котором номер 1 содержит на самом деле бесконечно много случаев) приведен в следующей таблице. Здесь п, р — неотрицательные целые числа и 2р ^ п.
Таблица Шварца
J* п/п X P- V № п/п X 1« V
1 1 2 1 2 ? Л 8 2 3 1 5 1 S
2 1 2 1 3 1 3 9 1 2 2 5 1 б
3 2 3 1 3 1 3 10 3 б "3 I б
4 1 2 1 3 1 4 U 2 5 2 б 2 б
5 2 3 1 4 1 4 12 2 3 1 3 I б
6 1 2 1 3 1 5 13 4 5 1 б 1 5
7 2 5 1 J I S 14 15 1 2 3 б 2 б 2 б 1 3 1 3 1SO ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (Гл. 2
В случае 1 (при /»=1) обратная функция <р(Х., р, v; т) рациональна. В частности, можно положить
/111 \ /Т»_1\2
ч\2> T' H'' xJ = ^vqrr) '
В случае X=(*=v = 0 получаем частный вид автоморфиой функции, положив
W-1, І-; 1; 1-*)
x = S (0, 0, 0, z) = i ,-с-^-.
^T'T' Ч
Соответствующая обратная функция z (т) обычно обозначается *а (х) и называется эллиптической модулярной функцией. Этой функции посвящена обширная литература. См. гл. 14, а также Klein, Fricke, 1890, 1892; об общих автоморфных функциях см. Fricke, Klein, 1897. Явное выражение для *s (Ч)
, / ч /M4
имеет ВИД ** (t) = I jp 1 , где
OO ІЯЛ„+±У ?5_±г OO
6,=22(-1)^ v 21 =*4* 2 [і +2 2(-1)"* * ]» я=0 , п—ї
оо — 00
9, = 1+2 2 еНхп*=е*х 2 (l+2 2 е tJ л = 1 п = 1
являются регулярными функциями от т тогда и только тогда, когда lmt>0 (см. Уиттекер и Ватсон, 1962, п. 21.7, 22.3).
2.7.3. Уииформизация. Введем вместо переменной z переменную t по формуле
Z = X3 (х)
(см. 2.7.2). Тогда F (а, Ir, е, z) станет однозначной функцией от т, которая определена и регулярна в полуплоскости Im t > 0. Виртингер (Wirtinger, 1902, 1903) доказал формулу
2
І-Г (6) Г (с-ft) F [a, ft; с; х» (t)] = к*ь Г (с) [9, (0, •c)]4b J Ф(и, x)da, (15)
где
ф(и'х)-|ёГ(0Г0] IMMTJ х
Г9a (и, т) Il -2а Г94 (ц, х) Il -з(с-а)
l9a(0, t) I |в4(0, t)J
Функции 0| (и, х) (i = 1, 2, 3, 4) являются четырьмя тета-функциями Якоби (см. гл. 13). Если не выполнены условия Re с > Re ft >0 (см. 2.1.3), то интеграл в (15) надо заменить контурным интегралом.
2.7.4. Нули. Пусть и (a, ft; с; z) — Однозначная ветвь решения уравнения 2.1(1), которая определена в полуплоскости z ^ 0 с возможным исключением 2 81 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 109
точек 0, оо, 1. Тогда, если А— заданная постоянная, то уравнение
а (а, Ir, с; г) = A (16)
имеет лишь конечное число решений относительно г. Это вытекает из того, что решения уравнения 2.1(1) могут быть разложены в окрестности особых точек 0, оэ, 1 в соответствии с формулами 2.10(1)—2.10(5). Отсюда счедует, что поведение и в окрестности этих точек определяется лишь членом вида
Va(Z) = Ca(Z-Z9)dO или Vt(Z) = C0(Z-Z0)dHn(Z-Zll),
где Z0=O, оо, 1, причем z — Za заменяется на z-1, если Zfl = оо. Это озна-u
чает, что отношение — стремится к конечному пределу, отличному от нуля,
если z—»z0. Следовательно, (16) имеет лишь конечное число решений в достаточно мачой окрестности 0, со, 1 (если мы ограничимся областью Im Z^S 0 и, следовательно, однозначной ветвью ve) В оставшейся части верхней полуплоскости ф>нкция и регулярна н, следовательно, равенство (16) может иметь лншь конечное число решений.
В сл)чае, когда а, Ь, с — вещественные числа, число нулей [то есть решений уравьения (16) при А = 0] однозначной ветви и (а, 6; с; z) было определено Гурвнцем (Hurwitz, 1907), Ван Флеком (Van Vleck, 1901, 1902) и Гер-глотцем (Herglotz, 1917). Методы, использованные этими авторами, тесно связаны с результатами, выражаемыми формулами 2.7(1) и 2.7(2). Для многочленов
u = F( — n, а + п; у, g) п = 0,1,2,...,
где а, 7 вещественны и f>0, а а 1 —7 >0 все нули вещественны и лежат на промежутке 0<z<l (о многочленах Якоби см. гл. 10).
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ФОРМУЛЫ 2.8. Гипергеометрический ряд
03 ,
Ffrbe,*)= 2 -1.-?...,
л = 0
(«)<. = 1,
(а)я = Г(г(1")Д) =а(а+1)...(а + я-1), « = 1,2,3,... Если с = —т — /, где т, I = 0, 1, 2,..., то имеем
п** 0
0)
(2)
(3)
Некоторые элементарные функции, которые могут быть выражены с помощью
W
оторые элементарные функции, которые могут гипергеометрического ряда (см. 2.2.1 и 2,5.5):
(l + z)* = /^-^ Ir, Ir, -Z), я— т4-1
1SO ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (Гл. 2
1(1+к 2)-^+-5-(1-I^rsa=/7 (а, a + -L-*-;z), (5)
[т+т^I=iP-'{-т.« H =
=*УТ=Ір[а, « +1; 2a; z], (6)
(1 _ ty**-i (і + г) = F (2а, а + 1; a, z). (7) Усеченный биномиальный ряд имеет вид
I ArCxaZAr ... + C™z™ = C™zm F(—m, 1; a— m+ 1; —г"1), (8)
со
2 W = (а-1Ї(1\ 1)1 - + ? (9)
e-^ = (2chz)-«thzF|l+|-, i + -|; 1+fl, (Chz)-sJ, (10)
cosaz = _«; sin'z)= coszf(1 + |, =
= («¦*)»/>(—f, 1--1; -tg*z), ДІЇ)
„/1,0 1 л 3 . а \ sm az = a sin z F (y+ y> у — y'> T' sin zI =
= л sinz coszF^1+y, 1-у;SinsZ^, (12)
arc sin z = z F , 1; zs^, (13)
arctgz = zF(y, 1;-|; -Z8), (14)
ln(z+l) = zF(l, 1; 2; -z), (15)
\n\±±=2zF{\, 1; (16)
