Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
' Pf J1W - Pf +! (*) = (? +1) / CT Pf - 1 (*), (13)
(V - ft) (V - ft +1) Pf +1 (X) - (v + ft) (v + ft +1) Pf _ і (JC) =
= (2v + l)/r^5Pf + lW> (l4)
Pf-J ,.(*)-* Pf (*) = (v -p + 1) У T=? Pf - 1 (X), (15)
Pf (X)- Pf +, (Jf) = (v + p) /Г=?Р»~1 (x), (16) 3.91 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
fr - (і +1) р? *, W - + Ii +1) * р? W = VT=P 1 |д ),
л_х») rfp^ (Х) = (V+ 1) X Pf (X)-(ч -ft + 1) Pf+, W = І
л ' dx !
VeS
18)
19)
Легко установить, что формулы (11)-(19) справедливы для Qf (а:). Из (2) вытекают перв~аи и вторая формули суммирования КристоффЬля
(C-Z) 2 (2m -И) Pm (г) Pm (Q=(n+1) [Рл+1 (С) Pn (г)-Рп (J) Pew («)], (20)
т=0 ' Jj-
(С - г) (2т + 1)'Рт (г) Qm (С) = ' _ j
т=0 і- • •
= 1 - (п + 1) [Рл+1 (г )0„ (С) - Pn (z) Qn+1 (t)]'. (21)
3.9.1. Асимптотические разложения. Если z не является вещественным числом, большим 1, то даже в случае, когда гипергеометрический ряд P(а, Ь\ с; г) расходится, он является асимптотическим разложением по с при больших положительных значениях Re с. Следовательно, при фиксированных z ими Re (і — оо форму лы 3.3(17), 3.3(16), 3.2(3) и 3.3(15) дают асимптотичег ские разложения функций P^ (z), Q^ (z), Р~ * (z), Q~ v-(z) соответствен) о. Первое, второе и четвертое {аііожения справедливы для всех значений за исключением точек вещественной оси между — оо и —1, а также 1 и оо, а формула 3 2(3) справедлива для всех значений г, кроме точек вещественной оси между —со и —1.
При фиксированных z и ft и Re ч — со формулы 3.3(21), 3.2(44), 3.3(21-) вместе с 3.3(1) и 3.3(22) дают соответственно асимптотические разложения функций Р";(г), Of(г), P^v (z) и OU,(z). Первое, третье и четвертое разложения справедливы для всех значений z, кроме точек вещественной оси между —со и —1, со и 1, а разложение 3.2(44) справедливо для всех значений z, кроме точек вещественной оси межд) — со и + 1. ' Разложения 3.5(5) и 3.5(6) являются асимптотическими разложениями по ч функций Pf(cosB) и Qf (cos0) соответственно, которые справедлив^ в области е=е6==?я—е, е>0. Таким образом, , ' » I
Qf(cosB)= ;
- je»)
Pf (cos В) = і
=-K'+Tl'-i+s]+»«}. «
T + T/ [ -
esgflsglt— 8, |е>0. Для малых значений 9 см. 3.5(10). Формула 3.5(9) дает асимптотическое jias-ложеиие функции P^tt(CosB) но ft. .
в* 164
ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
ггя а
Ч
8
я к
ъ в S
S 5 Л! I <2 S ? © § Є € SSsS 7 - єі« j Я 81«, . ' + 1 ^ J. + і 2 1H ; г -S і і X * -Il 1 - 1 .- 1 ¦ „і H 7 J (с ч - tf + _ I ~ ' -- t+-i U і ^ l ++ : І т I ф + s S і? I tt I t^ її л n ^ і, tl f г - +с їі I 7 *гГ § г S- і І P є j і «h _ ЄI« g 5 Jj -|„ de," ei« 1IcV, 5 1« J4 V w 1 „ і -i« " ei і 4, *h і 1 ltK 4Iw і 1C I t «
Я § І і I : с : • ^ » ; ; ra : A ° 1 • rf в в ' » wAv^w AV- . v СЧ . ' > * Ol M - iS-I « - ±41 * I ,H-Iw і ± S 4 І Б *
I I і S S Ie Ie S S $5*4 V 1* S 5 <у* V "oT V V Функция Ограничения : Главный <иев
Поведение в окрестности —1
pf (Jf) Re H >0 1 A ^ __L X —Y « 2 sin (**) Г (ц) (1 + *) (W)
pf (Jf) Ren<0 I1 ^ — tp 2 Г (— |iHl + Jrt Г (1 + V — |i) Г V — (і) (M)
Ft Un Нет ^ «in (V.) [^Jn (-у + у) + т + 2ф (, + И + « е^: (»«>] (IS)
Q? (*> Re (i>0 (1 і (1 "5— ~Т -3 Г (ц) cos (»*) а + *) <1в)
Oft«» ReiKO __S-__1 jc- -2 2 cos [«;,(»+ (і)] Г (-|i) Г (4 +p. 4-1)(1+*) 2 Г (v - ц + 1) (IT)
» ф —I, —2, —S, . ¦g-cos t«C) [in (j+ -j) + T + Зф (V + 1) - * tg (та)] (18)
Поведение на бесконечности
2' (19)
P* is) R«v>-± Yx Г |1+ » — р.;
ur Re»<—j ¦---,'(---Й-—' vrT Г (— v - р.) (20)
Г (» + 11+1) г" * *" 1 • 1V. <21)
?
8? 166
ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
ГГл 3
Поведение функций Лежандра в окрестности одной из особых точек 1, — 1 или оо может быть иссле ювано с помощью разложений п 3 2, 3 4 и 3 6 Рез> ль-таты, вкчючая ограничения, которые налагаются на параметры, >казаны в таблице на стр 164, 165 Этойтабчицей пользуются следующим образом Равенство (3), например, показывает, что в окрестности точки г = 1 функция P^ (г) равна J!l _ P1 j
22 (г—1) 2 .._- плюс члены высшего порядка относительно г—1 при
1(1 ft)
условии, что р не является натуральным числом. Этот результат вытекает из 8.2(3).
Равенство Выводится из
(3) 3,2(3)
(4) 8.6(1)
?) d 2\32)
(в) 3 2(32)
(Г) 3 2(36) и 2. IO(M)
(S) 3 4(61
(9) 3 6(2)
(10) 3 4(10)
(И) 3.4(10)
(12) (7), 3.4(2) и 3.2(12)
Равенство Выводится из
(13) 3.4(14) 8) и (10)
(14) 3.4(14), (8) и (U)
(15) 3.4(14) (8) и (12)
(16) 3.4(15) (10) и (8)
(17) 3.4(161, (11| и (8)
(18) 34(15), (12) и (8)
(19) 3.2(18)
(20) 3.2(18)
(21) 3.2(5)
3.10. Разложения по функциям Лежандра
Некоторые интегральные представления функций Лежандра имеют вид коэффициентов Фурье и могут быть использованы для суммирования некоторых рядов Фурье.
Пусть при фиксированном 9, О < 6 < я,
( (с
_ _ J
(cosи— cos 8) 2, Osg0<8 или 2тс — в <v=s?2п,
1<»<2п — 9.
Коэффициенты Фурье для /(») могут быть вычислены при помощи 3.7(27). Отсюда вытекает разложение
oo
r^i—ftj[P^1(cos0)+2 2 P^1(cosfi) cos(w)J = 2 п=1 2
