Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 42

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 87 >> Следующая


oo

-IsinM 2 Г(-у+/)Г(у + / + 1)^(|-|у. / = 1

Если при этом у — натуральное число, ч = п (п = 1, 2, 3,...), то

f=-o

(см. также 3.6.2).

Из 3.2(16), 3.2(20), 3.2(26), 3.2(36), 3 2(37) и 3.2(44) соответственно вытекает, что если л=0, 1, 2,..., то выражения для функций PJ + 2"+1,



Р» , Q» ", Q7 > Q* ' состоят из конечного числа сла-

гаемых. В частности,

I1 __, 1 _

і J— _ 1 _

Q,SW = <y -J(^-I) 4 (z+yz'-l)

і

v ~ 2":

(12) 3.5] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 147

і 1

I _ ШГ /-а іч 4 .і Д.

-2

(z)

{zi2Л14 K' + M« +уриія,

-- 1 0;т(г) =//? 4 (г+YzT=Tf-*

(13>

и из 3.2(16)

PT

і 2-'

' <*) = <*'-!)'f(ТЯЛ).

P7'(COS в) = (StaB)'j^-jj,

(14>

Используя 3.3(13) и 3.3(14), можно вывести из равенств (11) — (14) много-дальнейших формул.

3.6.2. Многочлены Лежандра. Если ц = 0 и v — целое число, возникает особо важный частный случай функций Лежандра (см. также п. 10.10). Можно считать, что целое число v неотрицательно. Из 3.2(22) получаем при п = 0, 1. 2, ...

Psit(Z) =-тС——г F (— я» =

ліг(і--я) V її)

- (- 1)" (2n)I / n , 1. і. Л

- 2а»(и1)а Ґ\ 2' 2' )*

P^1 (z) = »+4; 4;

л!г(—1-я) V III

»+!• T' -). и

или в обоих случаях

p ^ __<2»Я Г.« . я(я—1) »(»-1)(л-2)(»-3) 1

2(2n— 1) + 2*4 (2я — 1) (2п — 3) * -J-<1D>

Это равенство может быть записано в виде

Pn (z) = (2" nl)_1 Jpi (г* — I)". (17)

Выведенную формулу называют формулой Родрига.

Таким образом, Pn (2) является многочленом степени п относительно г и имеет ту же четность, что и я,

Pn (-Z) = (-iy Pn (г).

Эти многочлены называются многочленами Лежандра. Они образуют ортогональную систему функций иа отрезке {—1, 11; их корни вещественны, просты и лежат между — 1 и 1 (сы. также гл. 10). !¦40 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [Гл. З

Из 3.5(2) и 3.5(3) имеем

1-3 (я+1)(я + 3) + ^Г(2я + 3)(2я + 5) sm К» + 5)9] +

1-3-5 (я+I)(я+2) (я+ 2) \

+ 3! (2я + 3)(2я + 5)(2л + 7) МП 1(" + 7)0] + -J (18>

где верхний или_нижний знак берется в соответствии с Imz JjO. Так как I-Z = (Z-I) е+ы, то

огп+і (яП* t п 4- 1

<'в)= 1? + ?-V[(я + 1)01 + -Щ+Т 003 к» +3>6I +

1-3 (я+1)(я + 2) вди-.адц + 2! (2я + 3)(2я + 5) cosK"+5) 8I +

ЬЗ-5 (я+1)(я + 2)(я + 3) _-„_ і , \ nQ) + 3! (2я + 3)(2я + 5)(2я + 7) '' + 7)в1 + -..j, (19)

0 < 6 <*.

Из 3.2(40) следует, что

їйак берется в соответствии с Im г Jj 0. T

Qo(Z) = -^ln (20)

и из 3.4(12)

Qb(X)-XFd, 1; f; x-) = |ln (}?). (21)

Равенства 3.2(13) дают при fi = 0 и ч = п

W [Pn (г), Qn (Z)] = [Pn (z)Y jL = - (г» - 1)-S

следовательно,

Qn (г) = Pn M Г (*s - 1Г [Pn «)]-' dt, (22)

г

где путь интегрирования не должен пересекать разрез. Так как P0 (t) = 1 (см. 3.6(3)), то равенство (22) при я = 0 соглас>ется с равенством (20).

Mhoi очлен Pn (t) имеет степень я и различные корни; обозначим их, например, через tlt t2, ..., tn. При этом, так как Pn (!) = (— 1)» Pn (— 1)=!, ни один из этих корней не равен ± 1. Разлагая на простейшие дроби, имеем

п

Ua-Ir1 [Pn (4Гал = у(*-1Г1 —JrC+ Ir1 + 2 М«-«"*

/=I

и, следовательно, из (22)

п

Q»(s> = -g-P»<*)lng±{)+PB(s) (23)

<=1 3.5] ИЛИ

3.5] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ

147

(24)

Qn M=Y Pn (Z) to (Jjij) - UV1 (Z), где (г) — многочлен степени п — I. Так, например, Q1 (z)=4Р'<г)1п (Sl)-1' Qs (z) = Y р* W,п {т=т) -1г'

O-W=-IP-Wta(Sl)-T^ + !-

Из формулы (24) видно, что функция Qn (г) имеет логарифмические точки ветвлеьия вг = ± 1, но не имеет точки ветвления на бесконечности. Поэтому любая ветвь функции однозначна и регулярна в плоскости г, разрезанной вдоль ве і ественной оси от — 1 до 1.

Из (24) и 3.4(2) следует

(25)

Qn (A =I р» (*) in - Wn., (х).

(26)

Подставляя (24) в уравнение Лежандра 3.2(1), при (i = 0, получаем, что ф>нк-ции U7n_„ n= 1, 2, 3,..., удовлетворяют уравнению

(I-Sa)



dz*

-^+„(„+1) 1^.,=2?.

Отсюда можно вывести, что (Гобсон, 1952, стр. 56)

If-и (2в_4т_1)

(27)

(2<i>

т=0

Эта формула принадлежит Крсстоффелю.

Далее, пусть z — любая точка плоскости w, не лежащая на вещественной оси между — 1 и 1. Применим теорему Кошн к области, оіраниченной конторами G1 и Cj1 изображенными на рис. 2. Мы получим тогда

іQn(Z) =

I.0*

(w) (w — г)-1 dw-

И-

Ca

(гг>)(гг>—г) 1 dw

Если устремить радиус окружности Ca к бесконечности, то, в силу 3.2(5), имеем \ — 0, а вклад по f *

дугам окружностей в \ стремится к нулю вместе с радиусами этих окружностей. Таким образом, имеем і

<2ш Qn (г) = \ [Qn {V — iO) — Qn (v + (О)] (z — v)1 dv. -і

Рис. 2. !¦40 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [Гл. З

Так как выражение в квадратных скобках равно кіРп (ч), получаем интегральное представление Неймана

1

OnW=Y ((*-VT1Pn(V)dv = (- Qn(-г). (20)

-1

Записывая формулу (29) в виде

1 1

Qn M = Y Pn M J^ (г - V)'1 dv-\ J (z - V)-1 [Pn («) - Pa (»)] dv (30)

я сравнивая с (24), получаем, что

I

UV1 (г) =4 Ji (*-^'1 fP» & - рп Wl dv- (31>

Обобщением формулы Неймана (29) является следующая формула (Gor-mley, 1934, стр. 149):
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 87 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed