Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
oo
-IsinM 2 Г(-у+/)Г(у + / + 1)^(|-|у. / = 1
Если при этом у — натуральное число, ч = п (п = 1, 2, 3,...), то
f=-o
(см. также 3.6.2).
Из 3.2(16), 3.2(20), 3.2(26), 3.2(36), 3 2(37) и 3.2(44) соответственно вытекает, что если л=0, 1, 2,..., то выражения для функций PJ + 2"+1,
Р» , Q» ", Q7 > Q* ' состоят из конечного числа сла-
гаемых. В частности,
I1 __, 1 _
і J— _ 1 _
Q,SW = <y -J(^-I) 4 (z+yz'-l)
і
v ~ 2":
(12) 3.5] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 147
і 1
I _ ШГ /-а іч 4 .і Д.
-2
(z)
{zi2Л14 K' + M« +уриія,
-- 1 0;т(г) =//? 4 (г+YzT=Tf-*
(13>
и из 3.2(16)
PT
і 2-'
' <*) = <*'-!)'f(ТЯЛ).
P7'(COS в) = (StaB)'j^-jj,
(14>
Используя 3.3(13) и 3.3(14), можно вывести из равенств (11) — (14) много-дальнейших формул.
3.6.2. Многочлены Лежандра. Если ц = 0 и v — целое число, возникает особо важный частный случай функций Лежандра (см. также п. 10.10). Можно считать, что целое число v неотрицательно. Из 3.2(22) получаем при п = 0, 1. 2, ...
Psit(Z) =-тС——г F (— я» =
ліг(і--я) V її)
- (- 1)" (2n)I / n , 1. і. Л
- 2а»(и1)а Ґ\ 2' 2' )*
P^1 (z) = »+4; 4;
л!г(—1-я) V III
»+!• T' -). и
или в обоих случаях
p ^ __<2»Я Г.« . я(я—1) »(»-1)(л-2)(»-3) 1
2(2n— 1) + 2*4 (2я — 1) (2п — 3) * -J-<1D>
Это равенство может быть записано в виде
Pn (z) = (2" nl)_1 Jpi (г* — I)". (17)
Выведенную формулу называют формулой Родрига.
Таким образом, Pn (2) является многочленом степени п относительно г и имеет ту же четность, что и я,
Pn (-Z) = (-iy Pn (г).
Эти многочлены называются многочленами Лежандра. Они образуют ортогональную систему функций иа отрезке {—1, 11; их корни вещественны, просты и лежат между — 1 и 1 (сы. также гл. 10). !¦40 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [Гл. З
Из 3.5(2) и 3.5(3) имеем
1-3 (я+1)(я + 3) + ^Г(2я + 3)(2я + 5) sm К» + 5)9] +
1-3-5 (я+I)(я+2) (я+ 2) \
+ 3! (2я + 3)(2я + 5)(2л + 7) МП 1(" + 7)0] + -J (18>
где верхний или_нижний знак берется в соответствии с Imz JjO. Так как I-Z = (Z-I) е+ы, то
огп+і (яП* t п 4- 1
<'в)= 1? + ?-V[(я + 1)01 + -Щ+Т 003 к» +3>6I +
1-3 (я+1)(я + 2) вди-.адц + 2! (2я + 3)(2я + 5) cosK"+5) 8I +
ЬЗ-5 (я+1)(я + 2)(я + 3) _-„_ і , \ nQ) + 3! (2я + 3)(2я + 5)(2я + 7) '' + 7)в1 + -..j, (19)
0 < 6 <*.
Из 3.2(40) следует, что
їйак берется в соответствии с Im г Jj 0. T
Qo(Z) = -^ln (20)
и из 3.4(12)
Qb(X)-XFd, 1; f; x-) = |ln (}?). (21)
Равенства 3.2(13) дают при fi = 0 и ч = п
W [Pn (г), Qn (Z)] = [Pn (z)Y jL = - (г» - 1)-S
следовательно,
Qn (г) = Pn M Г (*s - 1Г [Pn «)]-' dt, (22)
г
где путь интегрирования не должен пересекать разрез. Так как P0 (t) = 1 (см. 3.6(3)), то равенство (22) при я = 0 соглас>ется с равенством (20).
Mhoi очлен Pn (t) имеет степень я и различные корни; обозначим их, например, через tlt t2, ..., tn. При этом, так как Pn (!) = (— 1)» Pn (— 1)=!, ни один из этих корней не равен ± 1. Разлагая на простейшие дроби, имеем
п
Ua-Ir1 [Pn (4Гал = у(*-1Г1 —JrC+ Ir1 + 2 М«-«"*
/=I
и, следовательно, из (22)
п
Q»(s> = -g-P»<*)lng±{)+PB(s) (23)
<=1 3.5] ИЛИ
3.5] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
147
(24)
Qn M=Y Pn (Z) to (Jjij) - UV1 (Z), где (г) — многочлен степени п — I. Так, например, Q1 (z)=4Р'<г)1п (Sl)-1' Qs (z) = Y р* W,п {т=т) -1г'
O-W=-IP-Wta(Sl)-T^ + !-
Из формулы (24) видно, что функция Qn (г) имеет логарифмические точки ветвлеьия вг = ± 1, но не имеет точки ветвления на бесконечности. Поэтому любая ветвь функции однозначна и регулярна в плоскости г, разрезанной вдоль ве і ественной оси от — 1 до 1.
Из (24) и 3.4(2) следует
(25)
Qn (A =I р» (*) in - Wn., (х).
(26)
Подставляя (24) в уравнение Лежандра 3.2(1), при (i = 0, получаем, что ф>нк-ции U7n_„ n= 1, 2, 3,..., удовлетворяют уравнению
(I-Sa)
dz*
-^+„(„+1) 1^.,=2?.
Отсюда можно вывести, что (Гобсон, 1952, стр. 56)
If-и (2в_4т_1)
(27)
(2<i>
т=0
Эта формула принадлежит Крсстоффелю.
Далее, пусть z — любая точка плоскости w, не лежащая на вещественной оси между — 1 и 1. Применим теорему Кошн к области, оіраниченной конторами G1 и Cj1 изображенными на рис. 2. Мы получим тогда
іQn(Z) =
I.0*
(w) (w — г)-1 dw-
И-
Ca
(гг>)(гг>—г) 1 dw
Если устремить радиус окружности Ca к бесконечности, то, в силу 3.2(5), имеем \ — 0, а вклад по f *
дугам окружностей в \ стремится к нулю вместе с радиусами этих окружностей. Таким образом, имеем і
<2ш Qn (г) = \ [Qn {V — iO) — Qn (v + (О)] (z — v)1 dv. -і
Рис. 2. !¦40 ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА [Гл. З
Так как выражение в квадратных скобках равно кіРп (ч), получаем интегральное представление Неймана
1
OnW=Y ((*-VT1Pn(V)dv = (- Qn(-г). (20)
-1
Записывая формулу (29) в виде
1 1
Qn M = Y Pn M J^ (г - V)'1 dv-\ J (z - V)-1 [Pn («) - Pa (»)] dv (30)
я сравнивая с (24), получаем, что
I
UV1 (г) =4 Ji (*-^'1 fP» & - рп Wl dv- (31>
Обобщением формулы Неймана (29) является следующая формула (Gor-mley, 1934, стр. 149):
