Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
2.5.5. Частные случаи гипергеометрической фуинции. Во многих случаях гипергеометрический pAi оказывается разложением некоторой элементарной функции В вырожденном случае но крайней мере одно из решений уравнения 2.1 (!) является элементарной функцией. Результаты вида
F (в, а + 1; І-; г) = 1(1 - Virsa + у(1 +V*Tia
могут быть получены с помощью квадратичного преобразования 2.1(24) путем предельного перехода 6 — 0 Различные друїие случаи, кої да F(a,b,c\z) является элементарной функцией, указаны в форматах 2 8(4) — 2 8(17) Все эти формулы либо непосредственно проверяются, либо мої у т быть выведены с помощью линейных и квадратичных преобразований Mhoi ие классы специальных функций выражаются через гипергеометрическую функцию. Эти случаи, а также некоторые другие особые случаи для гипергеометрической функции, указаны в следующей таблице.
Частные случаи гипергеометрической функции
Параметры а, Ь, с Переменное Название Глава
Два из чисел 1 — с, ± (о — 6), ± (с — а — 6) равны другому числу или одно из ннх равно ± I-Z 2 Функции Лежаидра L 3
-я, я + 2м, (я = 0, 1. 2, ...) — я, а+ я; ^ (я = 0, 1, 2, ...) I-Z 2 Z Многочлены Гегенбауэра Многочлены Якоби ю, и 10. 1!
1 1 ¦ У 8 • 1 или г» Полные аллип- U
--Ї-, I. 1 2 ¦ 2 ' «« тические интегралы •
1 I I т , —, — илн нуль І т я ' (1. т, я = 1, 2, 3, ...) Отношение двух решений 2.1(1) Одно из чисел а, Ь. с — а, с — & — целое с — а= 1 в г Z Обратная авто-морфная функция Вырожденный случай Неполная бета-функция 14 2.2 2.5.3
4* 100
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
[Гл. 2
2.6. Уравнение Римана
2.6,1. Редукция гипергеометрического уравнения. Доказательства теорем этого пункта см. в книгах: Пууль (Е. Q. С. Poole1 1936), или Кратцер и Франц, 1963, или Голубев, 1961. Если однородное дифференциальное урав-нсрие второго порядка имеет только три особые точки, причем эти особые точ-.и являются правильными (см. Кратцер и Франц, 1963), то уравнение может быть записано в виде
а
d2u . I vi 1 — ая—дд\ da ,
dz* + [Zi z — zn J dz л = 1
З
I I V ап "Д (гЯ — zn+l) (Zn — гп+з) 1_И_=ft m
+ l L Z-Zn J (Z-Z1)(Z-Zt)(Z-Zt) (1>
n = 1
Здесь ая, ая, zn — постоянные, такие, что Z1 ™ z2, z6 = z„ ио Z196 zg ф г^ф
ф Zv и з
2 («„+^>«1. (2)
Л =S* 1
Особыми точками являются г = Zn {/1 = 1, 2, 3); постоянные ал, ал называют показателями, соответствующими особой точке z = z„. Мы допускаем случай, когда одна из особых точек бесконечно удалена, и коэффициенты
du
при и а в уравнении (1) получаются путем соответствующего предельною перехода.
Уравнение (1) называют уравнением Романа. Применяют также название «уравнение Папперитца>.
Постоянные \п = а„, — ап называют разностью показателей. Если ни одна из них не является целой, то уравнение (1) имеет два линейно независимых решения Ui(Z)t Ui(Z), которые в окрестности точки г = га имеют вид
U1 (z) = (z-Znfn 2
m = o
ut(z) = (z — zn)a" 2 v'm (z —ZflYn.
m = О
(3)
Здесь vm и Vm могут зависеть от z„ Zs, zt, но не зависят от z, причем
V0 ф О, V10 ф 0. Если оцна или несколько разностей показателей — целые числа, то один или оба ряда (3) содержат логарифмические члены. Ниже мы сведем уравнение (1) к гипергеометрическому уравнению. Поэтому отсылаем читателя к предыдущим пунктам, где изложены детали логарифмического случая.
Полное множество решений уравнения (1) обозначается символом
/Z1 zt Zt \ >{ в, в, в„ z I.
V«; сі «; /
(4) 2.6]
Риман показал, что
УРАВНЕНИЕ РИМАНА 101
(5)
(6)
где
¦. Аг + в { _ AznJrB — Cz + D' ~ CznJrD кп
и А, В, С, D являются произвольными постоянными, такими, что AD — CB ф 0 (см. Б. Риман, 1948). Из равенства (5) следует, что решение уравнения (1), умноженное на
(Z-Z1Y Iz-zA" \z — zt) V-Zt) '
также удовлетворяет уравнению Римана. Разумеется, индексы 1, 2, 3 в (5) можно переставлять. Если Zn = со, то z — zn в равенстве (5) надо заменить единицей.
Если числа Z1, z2, z3 заданы, то можно найти такие четыре постоянные А, В, С, D, удовлетворяющие условию AD — ВСф 0, что C1, С» C3 являются тремя любыми наперед заданными числами. Таким образом, из равенства (6) следует, что с помощью дробно-линейного преобразования независимой переменной можно преобразовать уравнение (1) в уравнение Римана, имеющее особенности в заданных точках C1, Ca, Cs.
Комбинируя (5) и (6), получаем
хр( і .,+;+.. і 6=??=?). а
Xe1-B1 «! + «, + а, в, —в, /
Гипергеометрическое уравнение 2.1(1) является частным случаем уравнения Римаиа. Поэтому множество решений гипергеометрического уравнения может быть записано в виде
ч z»
aI «а «»
»І <
(0 оо 1 V
Oe Oz]. 1 —с Ъ с — а — Ъ /
Равенство (8) позволяет, таким образом, свести более общее уравнение Phj маиа к частному случаю 2.1 (1). Так как существуют 24 различных способа 1SO
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
(Гл. 2
преобразования гипергеометрнческого уравнения в себя, это сведение не является однозначно определенным. К stomv можно прийти также следящим образом. Гнперіеометрнческое уравнение выделяется среди всех уравнений рнманова типа тем, что ею особенности находятся в точках 0, оо, 1, причем разности показателей в этих точках равны 1 — с, а — Ь, с — а — Ь соответственно и один нз показателей в точках 2 = 0 и 2=1 равен нулю. Шесть возможных перестановок особых точек даются шестью дробно-ли-нейными преобразованиями
