Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
28 — IB / + 1 — т — я — 1 1-й Oi ral. 3.9(1) Bs rat. 2.9(18)
29 IB+1 ів + г+і — п — 2т — I — я — 2 Oi rat. 2.9(18) Ut 2 9(6) Ia 2.2(4) SJ] ПОЛНОЕ PEtafeHHE H АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ?5"
Если решение имеет хотя бы одно аналитическое продолжение, содержащее логарифмы, то это указывается в таблице иа стр. 83—84.
Так как іипергеометрическое уравнение симметрично относительно а я br можно предположить в этой таблице, что
1) если а или Ь—целое, то целым числом является о;
2) если с — а или с — Ь-— целые, то целым числом является с — ее,
3) если b—а— целое, то b — а^О.
2.3. Полное решение и асимптотическое разложение в общем случае
2.3.1. Лииейно независимые решения гипергеометрического уравнения в невырожденном случае. Предположим теперь, что і и одно из чигет а, Ь, с — а, с — b не явчяется целым Тогда цва линейно независимых решения ",(г), и2(г) уравнения 2.1(1) мог\т быть потучены из любого не равного тожіественно нулю решения с помощью аналитического продолжения вдоть пути, обходящего оіну из точек z = O, оо, 1. Если с не явчяется целым числом, можно положить
Ul(Z) = Fia, Ь\ с, z), /,v
u2(z) = z1 <^(а —с + i1 j_c + 1; 2-е; z). ^
Если а — b и с — а—b также не являются целыми числами, аналитическое продолжение решений U1 (z), M3 (г) может быть выполнено с помощью фор* мул 2.10(1) — 2.10(6) Если а — b — целое число, но с не является целым числом, то формула 2 1(18) дает анаіитическое продолжение решений Ui(Z) и Bs (z) в окрестности точки Z = со, а если с — а — b — целое число, то при с=о + ft +1, I = 0, 1, 2, ..., имеем
F(a b¦ а І Ь I г(0г("+* + 0 X д :)п .
Г(а, 0, a + Z)- г(в + /)Г(й+0 2л (1_/)яп!(І 2^ +
я=0
+0-3)4- '/??^!"?;+?0" fc-*' »
п=0
где
1)+«К»+ 1+/>-¦<«+»+/)-*<*+я + 0
г-1
и где 2 Равно нулю, если /=0.
Zts=O
Этот результат может быть получен из формулы 2.10(1), если положить c = e + i + / + e и перейти к пределу при е—>О
Точно так же получаем в этом случае для решении Ui
t^-b-'Ftf—b — l, 1-е —ft 2-а — b — I; z) =
T(l)T(2~a-b-l) 'y (\-b-l)n(\-a-l)n
"= T(l-a)T(l-b) Zi (1 — 0« Ш ( Г +
H=-O
і -і-a-b-i л _ -у / Г (2 a b /)
+ * (!-«)( l> Г(1 —?-0Г(1 —a —/) X
oo
n=0 86
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
[Гл. 2
где 1-І
я 2 равно нулю, если / = 0.
п—0
Наконец, если c = a-\-b— I, где 1 = 0, 1, 2, ... и с не является целым числом, то для в, (г) имеем " F(a, Ir, a + b — l; г) =
-a =VГГ+6-0 V1 (»-0/.(°- On п і -(1 г) Г (о) Г (b) L «1(1 -/)„ ( 2Г +
»=0
+<-"'г(гЛГА І ^?? -*<• »
я=О
где
= +* + »)+*(!+ «)-»(« + »)-*(* + »)
/-1
и где 2 означает нуль, если /=0.
п — 0
Соответствующая формула для Ui получается путем замены а и b соответственно на l-|-f—a, 1+' — ^
Если с — целое число, то можно положить
U1 (z) = F(а, Ь; с; г), е>Ц (5)
U1 (г)= Z1-cF(а — с+ 1, Ъ — с + 1; 2 — с, z\ CsgO; (6)
Bi (2) = F (a, b; 1 + a + b — c; 1—г) (7)
1 +а + й — сфО, —1, —2, ...; ^(2) = (1-z)°-a-b F(c — a, e—b- l—o — ? + ?,- 1 —z), (8)
1 4-о + Ь —e=0, —1, —2, ....
Аналитическое продолжение решений U1 (г) н и2 (г) в окрестности точек г = 0, г = оо нлн г=1 можно осуществить с помощью формул 2.10(1)— 2.10(15), поскольку в настоящем пункте мы предполагаем, что ни одно из чисел а, Ь, с — а, с — b не является целым.
2.3.2. Асимптотические разложения. Поведение решений гипергеомет-ри>.сскоі о уравнения при больших значениях | z | полностью описывается с помощью формул, дающих аналитическое продолжение этих решений в окрестности точки z = oo. За исключением случая, когда а — b — целое число, каждое решение и (z) может быть представлено в внде
и (z) = Jl.z-« + IiZ-" + О (z~') + О (г-"-1), (9)
где X1 н X2—постоянные; если же а — b — целое число, то z~a или z~b надо еще у множить на In г.
Поведение функции F(a, b; с; z) при больших значениях |а|, \b\, I с | было исследовано Перроном (О. Perron, 1916—1917) и Ватсоном (О. N. Watson, 1918).
Еслн a, b и z — фиксированные числа и | с | — большое число, такое, что і arg с I < я — є, г > 0, то при I z I < 1 имеем
F(а, b-, с; z)= 1 + j « + - + ^?5 + О (| с"»"' |). (10) 2.31 ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 87
Если I г I > 1, го аналогичное выражение с несколько иным видом остаточного члена имеет место и при |arg(l— 2)|<ся, Ree—> со. В этом случае, когда 'cl—oo и b фиксировано, то Re с > Re ft. При достаточно большом значении я имеем также Re (fr +я) >0. Положим
Р(а, b-, с; = Ь; с; г) =
1 і
_ Г (с) Г (а-+ н + 1) г"+' С С tb+n (1 — s)" ds dt .
~~ Г (?) Г (с — Ь) Г (а) /г! J (1 — ^c+1 (1 — stz)°+n+1 ( 1)
и разложим параметры на вещественную и мнимую части: a— a -f-w"" A=?-f-i?', e=f4-/-['. Тогда при Os^s, получим оценку
|(1 — si«)-0"«-11 Мг*~ я-1,
где M зависит от г и означает либо минимум, либо максимум выражения 11 — sfe |.
Отсюда следует
I Ря+11 ^ IГ (А) Г (с — А) I (я 4- 1)! m \ (T=T)FTfIaf-
"+1 м-л I (а)„+1 (?bm [ |Г(Р)||Г(с)| Г(Т-Р)Г(Т)
(« + 1)! |Г(А)||Г(с-А)| Г(т)Г(7 + я+!)'
Формула 1.18(5) позволяет оценить последние три сомножителя, являющиеся отношениями гамма-функций. В результате получаем
