Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 21

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 87 >> Следующая


Шесть функций

F (а ± 1, Ь; с; z), F {a, b ± 1; с; z), F {а, fr, с ± 1; z)

называются смежными с функцией F(а, fr, с; z). Между F (а, с; z) и любыми двумя смежными с ней функциями существует линейная зависимость, коэффициенты которой являются линейными функциями от z. Существуют 15 соотношений этого типа, которые были найдены впервые Гауссом. Полную таблицу этих соотношений см. 2.8(31)—2.8(45). Одно из них таково:

с F (а, Ъ—1; cr, z)+(a — b)z F (a, Ir, с + \; z) = cF(a—l, b; г, z). (6) Чтобы проверить соотношение (6), разложим обе части его в степенные 2 81

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 71

ряды. Коэффициент при zn в левой части имеет вид

«—h^e ; (с+1)п-,(я—1)1

~~ (с+l)/t-l(«—1)1 I + п I =

(с)„ я1 ^ (C)n я! '

что и доказывает равенство (6).

Если I, т., я—целые числа, то функция

F (a +1, b + т; с + я; г)

может быть выражена путем повторного применения соотношений Гаусса как линейная комбинация функции F(а, Ъ; с; г) и одной из смежных функций с коэффициентами, являющимися рациональными функциями от а, Ь, с, г.

Раз\меется, мы должны считать, что еиі-f» отличны от 0, —1, —2,... Ф\нкции F (а, Ь; с; г) и F(a-\-l, b-\- т, c-fn; z) называют ассоциирован ними рядачи. Можно показать, что если значения третьего параметра отличны от 0, —1, —2, ..., то любые три ассоциированных ряда связаны линейной однородной зависимостью, коэффициенты которой являются многочленами (Poole, 1936, стр. 91).

Имеют место следующие соотношения:

+ M + M + (7)

(в), г«"1 F(a + n,b-,c;z)=^-a F(a, b\ с; z)], (8)

(C)a Zc-1O- z)a+»-c F (a, b; с; z) = Ha

+ * + я; с + я: z)l. (9)

Соотношение (9) выведено Якоби (Jacobi, 1859). Полный список подобных формул см. 2.8(20)-2.8(27). Чтобы доказать (8) и (9), введем операторы

» a г, d

а = г -J-, D=J-.

dz' dz

Мы имеем

aF(a + 1, Ir, с; z) = (Ъ + a) F (а, Ir, с; z\

и так как для любой аналитической функции

(8 + а) (8 + а + 1)... (8 + а + я — l)/(z) = Z1-aDn Iz«+»-1/^)]

(см. Poole, 1936, стр. 93), то равенство (8) доказано. Чтобы получить (9), запишем равенство (1) в виде

D [г (! — г) MDu\ = аЬМи,

где M = Ze-1 (1 — Zj4rt-^-4. Из равенства (7) следует, что Dn~1F(a, Ir, с; z) удовлетворяет гипергеометрическому уравнению, в котором а, Ъ и с заменены на в+ я—1, b-\-n—1, с-{-я—1. Отсюда получаем рекуррентную формулу

D |z» (1 — Zy1MDnF) = (в + п — 1) (Ь -(- п— 1) [z (1 - z)]"-1 MDrf-1F и, следовательно,

Dn[zn(l —zf MDaFl — Wn \Ь)п MF- 72 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ [Гл. 2

Применяя снова (7) и предполагая, что F не является многочленом степени, меньшей чем л, то есть что (а)п(Ь)пф0, получаем (9).

Общая теория ) равнения Римана (см. 2.6.1 и Poole, 1936) показывает, что вообще должно быть 24 решения уравнения (1), имеющих вид

zPO—z)®/^', Ь\ с", г'),

где р, а, а', V, с' являются линейными функциями от а, Ь, с а г и г' связаны дробно-линейным преобразованием. Полный список этих 24 соотношений (которые были выведены Куммером) см. Qoursat, 1881, и форм>лы 2.9(1) — 2.9(24). Любые три из этих решений связаны линейной зависимостью с постоянными коэффициентами. Формулы зависимостей см. Qoursat, 1881 и форм\лы 2.9 (25)¦—2.9(44). Эти соотношения могут быть использованы для аналитического продолжения гипергеометрического ряда (доказательство см. 2.1.4) і

2.1.3. Основные интегральные представления. Если Re с > Re Ь > О, то имеет место формула Эйлера

I

* г(*)Гг (?-») J '"II-!!?'1 dt- <«*>

Правая часть этого равенства является однозначной аналитической функцией or г в области | arg (1 — г) | < я; таким образом, равенство (10) дает аначй-тическое продолжение для F (а, Ь\ с; г). Чтобы доказать равенство (10) при |z|<l, разложим (1—tz)~a в биномиальный ряд и почленно проингеїри-руем полученное разложение. Мы получим бета-интегралы, которые могут быть вычислены с помощью 1.5(1)—1.5(5). Из тождества

{«(!-^ + ['-(' + »+О«]-?-«»}^Zgr -

--(11)

следует, что выражение в правой части равенства (1) является решением дифференциального уравнения (!). Полагая S =— t, получаем, что при Re Ъ > 0, Re (а + 1 — с) > 0 и |argz|<*

OO

Sfr-^l + s)"-*-1 (1 + SZfa ds

является решением дифференциального уравнения-(1). Подстановка s = ^-^—

1 — т

приводит этот интеграл к виду і

^1(1 — т)в-е [1 — t (1 _ z)]-a dt

-Следовательно, .

F(a,b; в + й+1 —с;1—z) =

'- ' - • wCO

- rgrrwr^- 5 0 + (1+«Г«* (12) •о • - 2 81

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 73

также является решеиием гипергеометрического уравнения. Более того, любой интеграл вида

f tb-i (J _ ty-ь-1 (J _ tz)~* dt

С

является решением уравнения (1), если либо контур С замкнут на рима-новой поверхности подынтегральной функции, либо концы контура являются нулями функции tb(l — — tzf1-1. Разлагая (1 — tz)~a в биномиальный

ряд и применяя контурные интегралы 1.6(6)—1.6(8) для бета-фуикции, получаем

Ptn Ir ,Т(С) еХР Р«<»-«01 T*"' (1 -t^"'1 df

F(а, Ir, с, г)— Т{Ь)Т{е_Ь)2ш [«(C_*)j } (1 _Uf dt-

Re & > О, I arg (1 —z) I < я, c — bjbl, 2, 3, ...;

(0-(-)

ttn Itr Л ~ІГ (С)ЄХР C (I-^rft-' dt
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 87 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed