Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
r{a> K z)~ T(b)T(c — b)2anizb J (1 — tzf '
Re с > Re b, I arg (— z) | < it, ?^1,2,3,...;
F(a, br, c-, z) =
(I +, O"+, 1-,0-)
__— Г (с) exp (— foe) C tP-m-tr+-1
Г (?) Г (с — ?)4 sin sin [я (с — &)] ) (1 —tzf ' 1 '
I arg (— «)(<*, b, 1—с, с — ?^1, 2, 3, ...
Во всех случаях мы предполагаем, что путь интегрирования начинается в точке римановой поверхности для tb~l( 1—ty~b~l (1 — tz)~a, в которой t вещественно, 0 ^ t 1 и tb, (1—t— главные значения этих функций, а (1 — tzy " определена так, что (1 —tz)~a —> 1, когда z—*0.
Если положить z = l, то правая часть равенства (10) станет бета-инте-гралом, м из 1.5(1) и 1.5(5) вытекает, что
F(а Ь- с- П . Г(е)Г(е-а-») ..
ґ{а, о, с, 1)_ Г(с_в)Г(ет_&), (14)
Re с > Re ft > 0, Re (с — а — ?) > 0.
Докажем непосредственно, что равенство (14) остается справедливым при более слабых ограничениях на параметры: достаточно потребовать, чтобы сфй,—1,-2, ...и Re(c — a— ft)>0. Из рекуррентной формулы (с * в) (с — Ь) z F (в, Ь; е+1; z) =
= c[(2c — a — b—l)z — c+l]F(a, fr, с; z) +
+ с(с— 1)(1-z)F(a, b-, с—1; z)
и замечания к формуле 2.1.1(5) вытекает, что при <и=1, 2, 3, ... имеют место равенства
= (c-a)m(c~b)
(c)m(c — a — b)m v 74
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
[Гл. 2
при условии, ЧТО
Iim (1 — z)F(a, Ir, с; z) = 0, Re(c — a- b)> 0. г -* I
Это условие выполняется, так как для Re (с — а— Ь) > 0, в силу (5), имеем
Г(а + л)Г(» + л) Г (с 1) Г (е л — 1) Г (л + 1) Г(а)Г(*)^° при n^ca
и потому
oo
(1 —z)F(e, ft; с—1; z) = l+2(f» —ю»-і)2я-*0 при z-*l.
п = I
Таким образом, при от —»оо имеем
Iim F (а, Ь; с+ от; 1)= 1,
т-* оэ
Iim (с - а)« (с - Ь)т __ Г(с) Г (с а -Ь) Г (с — а от) Г (с — Ь-\-т) m -Too (с)ш (с — в — Г («-«) Г (c-ft) „Too Г (с + m) Г (с — а — Ь-\-т)'
что вместе с 1.18(4) доказывает равенство (14).
Второй вид интегральных представлений для гипергеометрического ряда дан Бернсом (Е. W. Barnes, 1908); ои построил свою теорию гипергеометрической функции на основе представления
— і со
где I arg (— z) I < л, а путь интегрирования имеет, если это необходимо, такие изгибы, чтобы он отделял полюсы подынтегральной функции в точках s=0, 1, 2, ... от полюсов в точках s—~~a — л, s = — b — л (л = О, 1, 2, ...). Такой путь интегрирования всегда может быть иайден при условии, что как а, так и Ъ отличны от 0, — 1, —2, ... Если определить
F (а, Ir, с; г)
Y(C)
при с=—л (л = О, 1, 2, ...) как
(а)д%+7)Г+1 ^a + "+1' б + л+1; л + 2, z), (16)
то равенство (15) сохраняет силу и при этих значениях с.
Для того чтобы доказать равенство (15), достаточно заметить, что при |z|<l интеграл в правой части можно вычислить с помощью вычетов и представить его как сумму вычетов подынтегральной функции в полюсах s = 0, 1, 2, ... (поведение подынтегральной функции на бесконечности легко следует из асимптотических формул 1.18).
2.1.4. Аналитическое продолжение гипергеометрнческого ряда. Интегралы в формулах (10), (13), (15) определяют аналитическую функцию от z, которая однозначна в области | arg (—z)|<n, то есть во всей z-плоскости, за исключением точек положительной полуоси. Эти интегралы могут служить для аналитического продолжения фу нкции F (а, Ь; с; г) в область | arg (— z) | <л. Для обозначения аналитического продолжения F (a, b; с; г) будем использовать снова F(а, Ir, с; г). Только теперь этот символ обозначает ветвь (главную ветвіь) аналитической функции, порожденной гипергеометрическим рядом. 2 81
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 75
Исключим полиномиальный случай, когда а или b равны 0, —1, —2 ...,
F (а Ь' с z)
и определим при с —0, -1,-2,... — Г(с) '—-с помощью формулы (16).
Вычислим интеграл, стоящий в правой части равенства (15) как сумму вычетов подынтегральной функции в полюсах S = — а — I, s = — b —к, где к, I = 0, 1, 2, ... Сначала рассмотрим случай, когда а — Ь не является целым числом, а потому порядок полюсов равен единице. Мы получим
F(fl, b", с; z) __ Tjb-Of 1 F( j , j _ b , ,, ,
+ гцгА) F^cm-'+* l_e+*: г_1)' (17)
где a — b ие является целым числом и где | arg (— z) f < те.
Если b = a+ m, где m — 0, 1, 2, ... , то подынтегральная функция (15) имеет простые полюсы в точках S = — а — к(к = 0, 1, ... ,m — 1) (и не имеет, вообще говоря, простых полюсов, если m = 0); в точках s = —a—m—l (/ = 0, 1, 2, ...) она имеет полюсы второго порядка, и потому
Г (в +я») [Г (с)]"1 F (в, в+я»; с; г) =
OO
_ (_2)-q-m Y (a)n+m(1-е + a)n+m --Г (с-в) L п\ (л + m)! ^ IllU-') + **] +
и = 0
+<-->-Zffi^V" <18>
It = O
афО, —1, —2..... т = 0, 1, 2, ... , |arg(— z)|<*
и
An = lKl+ »п+п) + ф(1 +я) — <|;(в + т + я) — ф(с — а — т — я) = = ф (1 + т + я) + Ф (1 + я) — ф (в + т + я) — <|/(1— с + в + т + я) +
+ HCtg [я (с — в)].
т— I.
Сумма 2 в соотношении (18) при m = 0 считается равной нулю. Если
л = O
c = e + m + /, где I = 0, 1, % ... , то формула (18) становится справедливой лишь после предельного перехода, в результате чего получаем
r(ra+m + /)f(a' а + т' «+" + Л ') =
