Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
случае a = b = -L, с = 1 все три разности показателей!—с, b—а, с—а—Ь 2.7]
КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
105
Тогда получаем
равны нулю. В этом случае можно положить
«, = ^(11; 1; 1-,).
J »і — «і» . ' t Mi —> 2«! -f- Utt Ja1- U1-2?,
bmXut-и»
Этот результат может быть выведен из соотношения
-Ит'Г' 1; *)+Т1п(1 —z)F(y> т» 1; 1H = (т)„ (т)„
(Л
1°;
= 2
п! п\
• |>(л +1)-<|/(л+1)](1-г)»,
(б)
получаемого из 2.1(15) с помощью метода, использованного в п. 2.1.4.
Б Римаи показал (см. Poole, 1936), что ассоциированные гипергеометрические уравнения имеют одну и ту же іруппу дробно-линейных подстановок. Отсюда было выведено, что существуют линейные соотношения между любыми тремя ассоциированными гипергеометрическими рядами, коэффициенты которых явіяются рациональными функциями независимой переменной.
2.7.2. Функция Шварца (см. Kampe de Feriet (1937), Poole (1936)). Начиная отсюда, будем обозначать разности показателей через
1—с = Х, Ь — а=ц, с — а— Ь = ч. (7)
Если и является решением гипергеометрического уравнения, то функция
у (г) = yV-*(l — г)1"' и (г) удовлетворяет уравнению
е. * *)у=о,
где
/л ч_1 —х» , 1-У« , 1— *
/(Л, ц, X, z) 4gt -t-4(1 _г)> -і 4г(1 —г) *
(8) (9)
Определим производную Шварца {w, z} равенством
и положим
Il ' d2w \ 2 ш \ dw J . dz J
W (2) = .л W у А*)'
где у і и у3—два линейно независимых решения уравнения (8). Тогда имеем
{V, г} = 2/(Х,|і, v; г). (10) 1SO ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (Гл. 2
Если Z является функцией от z, то справедливо тождество Кели
(?7
{W, = C}(g)2+{C, 2}. (11)
Кроме того,
1Ах±В
tCx+D' H Г' Cx+Of-"' (12>
где А, В, С, О —такие постоянные, что AD—ВСф 0. Следовательно, если Aw-\- В
С — T^—Гп> т0 Cw -f- D'
. . \Aw-\-B \
Это показывает, что если w(z) является решением уравнения (10), то Aw 4- В „
Cw D также УД°влетвоРяет этому уравнению. При этом можно доказать,
что все решения уравнения (10) имеют вид дробно-линейной комбинации от w. Следовательно, если известны два линейно независимых решения уравнения (8), можно найти все решения уравнения (10) С другой стороны, если w (г) — решение уравнения (10), то w(z) не может быть постоянным, за исключением сл>чая X2 = [j,2 = v2 = 1. Исключим этот случай. Тогда ф\нкции
являются двумя линейно независимыми решениями уравнения (8).
Обозначим через s (ц, v, X; z) полное множество решений уравнения (10)
и назовем s общей функцией Шварца Частные функции Шварца будут
обозначаться через S (ц, ч, X; z). Можно показать, что фхнкция s (X, ц, v; г)
мероморфна в окрестности любой точки, отличной от точек гфО, оо, 1, и
что соответствие между w и s локально взаимно однозначно. Это вытекает
ds ds ^
ИЗ ТОГО, ЧТО ~г или, если s имеет полюс, —-— отлично от нуля в точках dz dz J
гфО, оо, 1. Последнее утверждение следует из равенства
ds_ 1 / dya dyl
dz yi V^ гіг ^2 dz
в котором второй сомножитель постоянен.
Рассмотрим частный сл>чай, когда X, (х, ч вещественны. Используя теоремы об ассоциированных гипергеометрических рядах (см. п. 2.1.2 и 2.7.2), можно показать, что в случае, когда 1-\-т-\-п — четное число, функции
s (/ ± X, т ± fx, п ± v; z), I, т, п = 0, ±1, ± 2,...,
связаны с гипергеометрическими функциями, имеющими одну и ту же группу. Среди этих функций есть множество, называемое приведенным, для которого
0s?X, (х, v<l, + v + A, X+jisgl.
Г. А. Шварц (Н. А. Schwarz, 1873) показал, что приведенная функция т = S (X, ц, ч; z) отображает верхнюю полуплоскость 1щ z ^ 0 на треугольник A0 t-плоскости, ограниченный тремя дугами окружностей (некоторые из 2.7] КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
107
них могут вырождаться и отрезки прямой) Внутренние углы треугольника Дв в точках, соответствующих точкам Z = 0, оо, 1, равны Хтс, fxic, vie.
Из принципа симметрии Шварца следует, что по иная система ветвей функции t = S(X, fi; v; z) отображіет плоскость z на риманову поверхность, лежащую над т-плоскостью, которая состоит из A0 и всех треУготьников, почучаемых из Д„ с помощью следующей конструкции Пусть задана окружность (или прямая линия как предельный случай окружности). Отобразим t-плоскость иа себя с помощью подстановки
т._Дц'с+«и в81т + в>8
Где х' — точка, соответствующая т, и т—комплексно сопряжено с-с; заметим, что для точек окружности т = т' Назовем это преобразование инверсией относительно окружности Выполняя инверсии относительно окружностей, оіраничивающіїх Д0, получим три новых треугольника Д„ Д2, Д3, которые также оіраниченьї дугами окружностей Из этих треугольников A1, Д2, А, мы получим новые треугольники, вновь выполняя инверсии относительно окружностей, которые их ограничивают Если ннкакие два из полученных таким путем треугольников не перекрываются друг с друюм, то функция x=S(X, ft; ч; г) имеет однозначную мероморфную обратную функцию
z=<p(X, (х, v; г), (14)
которую называют автоморфной функцией. Необходимым условием для существования функций <р с такими свойствами является то, что X, (х, ч должны быть либо равными нулю, либо обратными вечичинами к целым числам.
