Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 25

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 87 >> Следующая


Если при обходе точки Z= 0 или Z = I соответственно по петлям L(„+' или /.'I' (в положительном направлении) решение B1 умножается соответственно на е3*'Р или ^snia, то функция

является однозначной функцией от z, регулярной при всех конечных значениях z, за исключением, быть может, точек z = O иг=1, в которых и* может иметь полюс. В соответствии с общей теорией уравнений Фукса (см. Poote1 1936) ии а следовательно и и*, не может иметь существенной особенности в точке z = oo. Следовательно, и* должно быть рациональной функцией, которая может иметь полюсы лишь в точках z=0, оо, 1; таким образом, в вырожденном случае B1 имеет вид

где Pa (г)— многочлен стенени я такой, что рЛ (O) фО и ра(1)фО.

Из общей теории Р-уравиений Римана следует (см. Winston, 1895 и п. 2.7.1), что уравнение 2.1(1) имеет решение вида (1) тогда и только тогда, когда одно из чисел

z-P (1 — 2)"?, (z) = в* (г)

U1(Z) = Z* (I-Zfpn(Z),

0)

а, Ь, с — а, с — b

(2)

является целым. Это условие эквивалентно тому, что по крайней мере одно из восьми чисел і: (с—1) ± ("о — b) ±(о + b — с) является нечетным целым. 1SO ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (Гл. 2

Если ровно одно из четырех чисел (2) является целым Л сф0, ±. 1, ±2, ..., то одна из двух функций

U1 = F (а, fr, с, 2) = (1 -Zfit-" F (с —а, с —Ir, г, г), ut —Z1-c^-z)°-°-<>F(1-а, 1 —Ir, 2 —с; г) = = Z1-cF(а + 1 — с, Ь-1-І—с; 2-е; г)

(3)

имеет вид (1), поскольку тогда один из четырех рядов (3) обрывается.

2.2.2. Полное решение в вырожденном случае. Мы укажем два линейно независимых решения гипергеометрического уравнения в вырожденном случае. Эти решения могут быть выражены через 24 ряда Ky ммера (см. 2.9(1)— '2.9(24)). Чтобы получить также аналитическое продолжение этих решений в область larg(—г)|<я, мы используем формулу

1, я + /и+1;п + /и + / + 2;г) =

(» + « + f+DK-iy Г , rf' Л

Яи1(я + т)!(/и + /)! dz"™ Lu Г Ibr ' ' >}' W

і, от, я = 0, 1, 2, ...,

где F( 1, 1; 2; г) =—г-11п(1 —г). Полезно заметить, что если с = а, то

(1 — z)~b $ STa (1 — г)"-1 dz (5)

является решением уравнения 2.1(1), причем это выражение может быть представлеио в виде т

Xf \y с (I-Srwww I

2.(-1) Ч+т г+ 1 —от +

г =O

(_ l)m+iCmjH (1 _2)-(m+H-U е т+1

V »гн-w/i_,\-(m+/+n

+ 2 (- Г+ I-OT-» <6>

r=m+2

? = /-(- ОТ 4- 1, C = ff = OT, I, OT=O, 1, 2, ...

Если /<2, последняя сумма равна нулю.

Чтобы доказать равенство (4), достаточно применить 2.1(7) к 2.1(9); формула (6) элементарна.

Выбор двух линейно независимых решений из рядов Куммера зависит от того, сколько из величин (2) являются целыми.

При разборе различных случаев будут применяться следующие обозначения:

I, от, я обозначают неотрицательные целые числа; п. і. означает, что величина не является целой;

deg. означает, что решение имеет вид (1);

rat. указывает, что решение является рациональной функцией;

In 2.1(19) указывает, что аналитическое продолжение решения может быть осуществлено с помощью формулы 2.1(19) и приводит к логарифму;

Bj 2.9(1) указывает на один из 24 рядов Куммера и означает, например, что следу ет взять первую из nieqiH функций и использовать выражение 2.9(1). Решения в вырожденном случае

Случай а b с с — а — Ь Вырожденное решение Второе решение
і — 171 п. І. п. 1. п. 1. Bi rat. 2.9)1) Bs 2.9(18)
2 171 + 1 п. 1. а. і. Q. 1. Bs 2.9(18» «1 2.9(11
3 С + 171 п. І. п. 1. п. 1. «1 2.9(2) Bs 2.9(17)
4 е — т — I В. L п. 1. п. 1. Bt 3.9(17) «1 2.9(2)
5 — т п. 1. п. 1. i + l Bi rat. 2.9(1) B5 in 2.9(18) 2.3(2)
6 т + 1 П- 1. п. І. BS 2.9(18) f1 In 2.9(1) 2.3(2)
7 — m п. 1. п. 1. — 1 Bi rat. 2.9(1) Bs In 2.9(18) 2.3(4)
8 (Я+ 1 п. 1. п. 1. — 1 Ss 2.9(18) «і In 2.9(1) 2.3(2)
9 (Я+ 1 т + Л-1 п. 1. п. 1. Bt 2.9(18) «i In 2.9(1) 2.1(18)
IO — 171 /+I п. 1. п. і. Bi rat. 2.9(1) Bs deg. 2.9(18)
U — т — I — т п. 1. п. і. Bi rat. 2.9(1) f» In 3.9(18) 2.1(18)
U — т п. і. -171 п. і. Bi rat. SAl) «4 deg. 2.9(18)
13 — т — I — \ п. 1. — 171 п. 1. Bs rat. 2.9(17) «4 In 2.9(14) 2.1(18)
14 — т п. 1. »+1 п. і. ii| rat. 2.9(1) «4 In 2.9(14) 2.1(18)
IS т-И о. 1. — п п. 1. U1 2.9(18) f» In 2.9(9) 2.1(18) Продолжение <g

Случав I а ь с с — а — Ь Вырожденное решение Второе решение
19 m + t + 1 n.J. т +1 п. і. Bl 3.9(2) а, 3.9(9) In 21(18)
17 т + 1 а 1. ІВ + / + 2 п. і. O1 rat 2.9(9) Ke deg. 2.9(22)
> 18 т + я + 1 ів + я + f + l ! я+1 г— 2т — я — / - 1 Bi rat. 2.9(2) Bl 2.9(6) la 2.2(4)
19 т + 1 т + л + і + 2 ЯІ + Я + 2 — 1 — IB — 1 «і rat. 2.9(2) Bs ral. 2.9(18)
20 IB+ 1 ів + і + 1 ЯІ + Я + / + 2 я — т Ut rat. 2.9(13) «1 2.9(1) Ia 2.2(4)
21 — т u + t + l я + 1 m — t Ui rat. 2.9(1) B1 2.9(14) lit 2.3(4)
22 — т 1 + 1 я + /+ 2 я + I — т O1 rat. 3.9(1) BS ral. 2.9(17)
23 і — т — I — т В + I я + 2т + / + 1 »i rat, 2.9(1} Щ 2.9(21) Ia 2.2(4)
24 -т-I — т — т—I — я т — я »i ral. 2.9(1) Bs 2.9(18) In 2.3(4)
25 —1 — m — t—n -п-1 — п 2/ + ІВ + Я + 1 Ub rat. 2.9(17) B( 2.9(22) Ia 2.2(4)
26 — т —n—t—2 -I -п-1- 1 і + яі + 1 Ui ral. 23(1) O9 rat. 2.9(17)
27 — IB - п — I ' + 1 — я (Я + J + 2 в» rat. 2.9(17) B1 2.9(13) In 2.2(4)
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed