Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
я
J
I (COS (sin 6)aV"2ae de z=
ія (а — ul- -іл
* V 21 Г(а-ц-у)Г(2ц+1) „
— Г (І r«-v + |»)
X F(— 2v, а — (і — v; 1_|_а—v-l-fj.; —l)-f-
Re(»> — , Rev> —І-. (6)
В частности, если e = »-|-(i, + l, 2p. = x, 2ч=у, то из 1.5(13) (при а=1, b = —1, V = еа,в) следует, что
я
Г ^flW' j (cos в)* (sin в))- е' "+у™ в d9 = =
= (у + 1)-«/Ч-дг, 1; 3^ + ? —1) + (-^ + 1)-^(—З'. І! * + -1).
Re*> — 1, Re.y> — 1. (7)
Для доказательства формулы (в) надо сделать в левой части этой формулы подстановку es,e = t и применить интегральное представление Эйлера 2.1(10).
При Re (л. >—Rev> — "J 513 Ф0РМ>ЛЫ (6) вытекает, что
X
J (cos Є)*І* (sin Є)" е2іаЄ de =
__gin ia-|jL> 4~|JL-V
яГ(2У + 1)
Г(1 + (1+у-а)Г(1+у + а-(і)л X /=4-2(*, а —(д. —v; !+а—^ + у; —1), (8)
где положено
(cos fl)a^ = er*™»- I^sin ^ 8—у]]8", Y 0 < я-
В частности, мы имеем при 2fi = m=0, 1, 2, ... и - т л т а
( m (У'а) j (COS 6Г COSaDdftl а^О, + 1, ±2, ... 1SO ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (Гл. 2
Комбинируя квадратичное преобразование 2.1(24) с формулой 2.1(10) •получаем
^flj a-b + Y, b + z») =
_ rK)
г(і)г<») S
Если n = 0, 1, 2, ... , имеем
j (sin <f)sb~l (1 + 2z cos <p + z2)-° d<p, Re b > 0, | z | < 1. (9)
2x
z-nn| Г»
^(a, я-f а; я + 1; г')= 2n(a)n j cosn<p(l— 2z cos ? + z»)"0 <*p,
0
Rea>0, I г |<1. (10) Это может быть доказано следующим образом. Запишем разложение (1 — 2z cos <р + г»)-« = (1 — ze"?)-a (1 — ze~lv)~a
41 разложим правую часть по биному Ньютона
OO со
2 z'eW 2
/=O т=0
Если перемножить ряды и собрать коэффициенты при е-І9П, то получим (10). Имеет место также формула
*2-{>Г(1 + Р)_
'Ы+i-iM'+i-i+i)
xrI '2" 2 2 ' 2 2 2' b")
+ -т 2
= ^ (cos 8)P (aV6 + і2«-'6)1- rfe, Re ? > — 1, I b I > І а |. (11)
1с
Она получается путем разложения подынтегральной функции в биномиальный ряд и почленного интегрирования. Если | а | > | b |, то соответствующая формула может быть получена при замене а на —а и б на —в. Однако аналитическое продолжение гнпергеометрической функции в (11) в область
J -g- > 1 не совпадает со значением интеграла, стоящего в правой части р авеиства. 2 51 РАЗЛИЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 93
2.5. Различные результаты
2.5.1. Производящая функция. Если « = 0, 1,2,... ,то F(—я, а + я;с; г) являются многочленами Якоби (см. гл. 10 об ортогональных многочленах). Для этих многочленов производящей функцией будет
h = o
где S= У\— 2(1— 2z)s + ss
и S-* 1, когда а—-0. Разложение в левой части равенства (1) сходится, если |s|<l и |1—2z|<l. В случае Rec>0 можно доказать равенство (1) п) тем подстановки в интеграле 2.1(10) и = *(1—tz) (I — f)-1. Эта подстановка дает
F(b, а— Ь\ с-, z) =
- Г<С> ? ab-1 (I-U+IATa / 1 + ц — t/N ^x Oa ~ Г(0)Г(е — Ь) J \ 2 1 \ 2uz ) U' к >
где U= /1 +2й(1 — 2z) + и*.
Применяя формулу обращения для преобразования Меллина, получаем
-т^'Т**™ 0^* " ч®«=5"' <3> ? — <00
где ? — соответственно выбранное вещественное число. Подынтегральная функция в правой части равенства (3) имеет полюсы при
Ь = —п (я=О, 1, 2, ...).
Из результатов п. 2.3 следует, что можно применить теорему о вычетах, которая и приводит к равенству (1) при S = — а. Ограничения, наложенные на с, могут быть сняты путем аналитического продолжения обеих частей равенства (1) по с.
Равенство (3) можно рассматривать как непрерывную линейную производящую функцию для F(b, а — Ь; с; z). Относительно билинейной произвол дящей ф>нкции и многих связанных с этим результатов см A. Erdelyi, 1941.
Мстот, с помощью которого было доказано равенство (I), позволяет также установить, что
OO
(1 — sy*-" (1 — s + SZ)-« = 2 ^s-Pi-IlO; с; z),
|s|<l, |s(l —z) |< 1.
2.5.?. Произведения гипергеометрических рядов. Кели, Opp (Cevlev, Orr, 1Ь99) и Бейли (Bailex, 1935) доказали ряд тождеств, которые были обобщены Берчнеллом и Ченди (J L Burchnall, Т. W Chaundy, 1948) (Доказательство см. в последней работе.) Результат Кели и Oppa заключается в том, 94
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
[Гл. 2
410 если
(1—г)«+"-^(2а, 2b 2с — 1; z) = ^ A„z»,
я = О
IO
OO
fUo-, с—і; c-b; ? + 1; z) = J ¦ (С)» Л„г». (4)
Берчнелл и Ченди доказали формулы умножения и удвоения
00 (-т) (а)пО)п(с~а)п(с-Ь)п F(2а, 2b-, 2с- г)= X --* '» -г2" X
X [F{a + n, i-f n; ? + 2я; г)]8, (5)
OO
р, jl. „. 1V (Д)я (% (С— Д)я (с — ,»„ v
F<*, b, с, z )- 2 „,(с+ „_[)„(C)2/1 г X
я = O
X F (а -f я, b -f я; с -f 2я; г) F (a -f я, й -f «; с 4- 2я; — г), (6)
« (I) (")п(.Ь)п (с— а)п(с — Ь)п [F(a, Ь• с, г)]»= X Iii*---j--** х
n = O »!(«)я(с)гя(« + Я — у J
¦=2
X F (2а + 2«, 26 + 2я; 2с + 4я; г). (7)
Все эти формулы справедливы, если | г | < 1, и если все входящие в иих гипергеометрические ряды имеют смысл, то есть если 2с и с отличны от О, -1,-2, ...
Формулы Берчнелла и Ченди, имеющие вид теорем сложения (см. Burch-iiall, Chaundy, 1940), таковы:
« •+«-*>- 1 '-l^lr-IM^" ^x
я = О
X F(a + n, ? + я; c-f 2я; z)F(a + я, b + Ъ с + 2щ Q =
