Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
(30)
г=0
Эта формула называется формулой Заалыиютца. Так как правая часть ра-
венства (25) имеет вид
(тЩ+т-),
г\(\+а-Ь\
г=О
то коэффициент при Zn равен
2 " (-4*/п-'>--".
2
(1 +в — b)rr\ (л —г)!
г=0
В силу соотношений
4" (? (f + = («)іг, (- 1V (-п)г (П - г)! = л!,
(* + 2rW=(a + ya)" (ЗІ)
В формулы Заальшютца (30), это выражение можно записать в виде
(а)я 1V л! Zj
г=о
Тем самым равенство (25) доказано.
^ (1 +j—&),(«+n)r(-n)r {а)ЛЬ)п
г=0 0+a-b)r^- + YJrrl 2 81 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 79
Применяя (22) к правой части равенства (25), получаем (1+z)-«f[J-, y + i; l+a-fc (1|гг)8 j = f(0,6; 1+a-fcz).
4z
Если вместо z ввести новое переменное » 10 получим соотноше-
ние, эквивалентное (26).
Прежде чем доказывать (24), убедимся, что'
F [а, Ir, 2b; Г
= (]+z)-(l+z^F{|, f+ * + [^?-]2}. (32)
Это равенство эквивалентно равенству
Pb b-, 2b-, z)=(l| + -i; * + (33)
4z
что можно проверить путем замены переменной z на ^ гу . Из (26) следует, что правая часть равенства (32) равна
(1+z)*« F[a, a-b + -L; b + і; z8)
и, следовательно, (24) вытекает из (26) и (32). Чтобы доказать (32), применим равенство (10), из которого следует, что
р\аЬ- 2Ь- 4г 1 = (1 + z)*« \ It O-Ol*-1 dt ш>
г Iа' * lb< (і + гу J - [г (J)P + г> ,J [1 + 2z (1 - 2t) + z8]~ • (34)
Поскольку интеграл в праиой части равенства остается неизменным, если подставить —z вместо z и 1—t вместо t, то он является четной функцией от z. Поэтому подстановка 1 — 2i= cos в преобразует правую часть равенства (34) в
(1 + г)1а Г (26) ? (sin б)8*1 ав 220"1 (1 + zY PW j Л L 2z cos Q\a
I+*8
Разлагая выражение в киадратиых скобках и ряд по степеням cos в и вы» числяя получающиеся бета-интегралы по формуле 1.5(19), получаем
O-^I г(2й) У г W г (« + !)(«),„ ( 2г
(1+zyrarZ Г(,+Я+^(2Я)! I .+*) •
В силу
80
гипергеометрическая функция
[Гл. 2
находим, что это выражение равно
г<1+.гг г(т)гр»> V (?^+? (_2«_г 1 1 + Zj Lt+*) nl + '
Применяя формулу удвоения Г-функции к выражению, стоящему за знаком суммы, убеждаемся, что получившееся выражение совпадает с правой частью равенства (32).
Если два из параметров гипергеометрнческой функции могут принимать любые значення, то возможны лишь линейные и квадратичные преобразования.
Кубические преобразования гипергеомегрического уравнения существуют, либо если
1 —с = ±(а—b) = ±(c — а— Ь), либо если два из чисел
±(1— с), ±(a—b), ±(с — а — Ь)
равны третьему из этих чисел.
Доказательства основных результатов, которые будут приведены в 2.11, см. Е. Qoursat, 1881 и G. N. Watson, 1909.
Существуют преобразования четвертой и шестой степеней, прн которых один из трех параметров может принимать любое значение (см. Goursat, 1881 и п. 2.11). Преобразования других степеней существуют лишь тогда, когда a, b и с являются некоторыми рациональными числами. В этих случаях решения гнпергеометрического уравнения являются алгебраическими функциями (см. 2.7.2 и Goursat, 1938).
2.1.6. F(a, b, с; г) как функция параметров. Во многих случаях удобнее доказывать те нлн иные соотношения (например, формулы для линейных преобразований) для г ипсргеометрических рядов при некоторых ограничениях (например, неравенствах) на параметры; так, формулу (22) легче вывести из формулы (10) прн условии Re с > Re b > 0, чем применить для вывода этой формулы равенство (13), не накладывающее каких-либо ограничений на параметры. В этой связи весьма удобен метод аналитического продолжения по параметрам.
Нетрудно проверить, что если г0 фиксировано, причем I z01 < 1, то функция Г ^a' 2^ является целой аналитической функцией от a, b и с. В са-1 (с)
мом деле, в этом случае гипергеометрическнй ряд равномерно сходится в любой конечной области (комплексного) пространства изменения параметров а, Ь, с. Из (22) следует, что это же утверждение справедливо для ізсех
Z0 таких, что Rez0C-^--
Приведем выражения гипергеометрической функции при некоторых частных значениях г:
F (2а, 1- 2„; 2с; _ Г Щ
• ^ . Г<« + е)г(е —+ j) '
I F(1К 2а, 2а -f-1; -1) _„ ¦(« + ?)-*<«>
Г(2о+1) Г (2а) - ' ВЫРОЖДЕННЫЙ СЛУЧАИ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 81
Другие формулы см, 2.8(46) — 2.8(56). Многие из результатов этого типа могут быть получены из формул преобразования гипергеометрических ряцов путем прямого вычисления интегральных представлений или из разложения на простейшие дроби. Известны некоторые случаи, когда требуются более сложные доказательства, например для формулы
Относительно этого и более общих результатов см. Mitra, 1943.
2.2. Вырожденный случай гипергеометрического уравнения
2.2.1. Частное решение. Вообще точки г = 0, со, 1 являются точками ветвления решений гипергеометрического уравнения 2.1(1). Возьмем некоторое решение U1(Z) уравнения 2.1(1), разложим его по степеням z — z0 и продолжим аналитически п, вдоль замкнутой кривой, которая обходит хотя бы одну из точек ветвления 0, і и возвращается в точку z0. Мы получим тогда решение вида u = X1u1-[-Х3«2, где X1 и X3 — постоянные, a u1 и й2— линейно независимые решения уравнение 2.1(1). Вообще говоря, X3 отлично от in ля, а потому все решения уравнения 2.1(1) могут быть получены из какого-либо одного путем аналитического продолжения. Но может случиться, что для любого контура L выполняется равенство X2 = O. В этом случае говорят о вырожденном случае и называют решение U1, обладающее этим свойством, вырожденным решением.
