Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
= f_ 1 yn+l (_,\-a-m V (а)п+т (п Ql —я ,
1 4 К ' L (я + т)!я! 2 +
л = /
і (-г)-*-" у' («WO-/в-/W
п—0
т~ 1
, (_гГа \ (ш я 1)1 (а)„
+ 1 ' Zl (Ш+/-Я-1)! л!2 ' {19)
я = 0
e + m^O, — 1, -2, ... , I arg(— z) | <я.77 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ функция [гл. 2
/ -1 /п- 1
Здесь 2 > S "фи / = O или 0 полагают равными нулю и
п = 0 я = 0
л; = Ф(1+я» + л) + -|'(1+л) — <И«+ « + «) — +(/ — Я).
Если с — а или с — b являются отрицательными целыми числами, то F(а, Ь; с\ г) является элементарной функцией от z. В частности, имеем
F(a, e+m; а + т — I; «) = (1— z)-a~lF(m — I, — I; а + т —V, z), (20)
где гипергеометрический ряд в правой части является многочленом, если
/ = 0, 1, 2, ... Для того чтобы доказать формулу (20), заметим, что при подстановках
8^1-'' та- r=hs <">
интегралы Эйлера (10) или (12) преобразуются в интегралы того же самого вида. Отсюда получаем
F(a, Ir, c-, z)= (l-z)~* F (a, c-b; с;
/ z \ (22) = (I-Z)-bF ^-в, Ь; с, ^f-J
и
F(a, Ь\ с; z) = (l — z)c-a~b F(с — а, с —Ir, г, г). (23)
Соотношение (22) справедливо, еслн | z | < 1 и | j j < 1; так как правая
часть равенства (22) определена при Rez<c-J-, то это равенство можно
использовать для аналитического продолжения F(а, Ь; с; z) в нолуплоскость
Re z <"2". Равенство (23) справедливо лишь при |z| <1 и если а, Ъ, с—а
или с — b не являются неположительными целыми числами.
Из равенств (17) — (23) и комбинаций этнх формул (см. п. 2.9 и 2.10) можно получить полное аналитическое продолжение для F(a, b", с', z)4 в область |drg(l — z)|<1t. Отсюда следует, что в любой точке Z = Zef
кроме точек z0 = exp^±^-j, функция F(а, Ь; с; z) может быть вычислена
с помощью ряда, который сходится с быстротой геометрической прогрессии.
При Z0 = ехр І^—y] РяДы (I7) — (23) сходятся либо условно, лнбо так, как
ряды 2 2пл_в, где k > 1 — постоянная.
2.1.5. Квадратичные и кубичные преобразовании. Равенства (17) — (23) можно рассматривать как лннейиые преобразования F (а, Ь\ с; г) Если в, Ь, с не удовлетворяют дополнительным условиям, то не существует преобразовании высшего порядка, то есть преобразований, при которых переменные былн бы связаны нелинейными соотношениями.
Квадратичные преобразования существуют тогда н только тогда, коїда либо одно из чисел
+ (1-е), +(а-Ь), +(а + Ъ-с)2 81
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 77
равно Vt. либ° Два из них Равиы друг другу. Основные формулы даньг Гауссом и Куммером-
F(а, fc 1+e-fc = +
F{a, e + y; ?: «) =
e2»[l + 2e— b+\- b- , (26?
F[a,b;a + b + Y 4z (1-Z)J = F (2e> 26; e + fr + 1; 2). (27)
В формуле (26) выбрана ветвь функции Yl — г, принимающая положительные значения, если 2—вещественное число и г < 1. Следствием равенств (27) и 2.10(1) является
Т^їо, 2* « + *+!; ^) =
- r^r^) ^b-^
Т(а)Т(Ь) \ ^ 2 2 ' 2' Г
(28)
Ряаы в обеих частях равенств (24) — (28) сходятся в некоторой окрестности точки 2=0. Каждая формула справедлива в наибольшей связной области, содержащей точку 2 = 0, в которой ряды, входящие в эту формулу, сходятся.
Например, формула (27) справедлива, когда —')> 1,0 не имеет
места, если 1 j > хотя части равенства (27) имеют смысл в этом
сл\чае. С учетом этого ограничения формучы (24) — (28) также могут быть использованы для аналитическою продолжения функции, заданной рядом, стоящим в одной части равенства, в область, где сходится ряд, стоящий в другой части равенства При этом можно воспользоваться линейными преобразованиями
Полный список квадратичных преобразований см. Е. Qoursat1 1881 и 2.11(1)-2 11(36).
Квадратичные преобразования являются следствиями общей теории Р-урав-неянй Римана (см. Poole, 1936, и 2.6(2)). Мы докажем формулы (24)-(28), показав, что обе части этих формул удовлетворяют гипергеометрическому
уравнению. Например, легко показать, что F^a, Ir, 4г(1 — 2) J79 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ [Гл. 2
удовлетворяет уравнению (1), если принять в нем за значения параметров числа 2а, Tb и в + & + Далее, ясно, что при Z=O обе части равенства (27), равно как и их первые производные, принимают одинаковые значения. Но из 2.2(2) и 2.3(1) следует, что если с отлично от 0, —1, —2, ..., то уравнение (1) имеет единственное решение, однозначное и регулярное в окрестности точки z = 0. Поэтому обе части равенства (27) должны совпадать, за исключением, быть может, случая, когда a -f- b -J- -у = 0, —1, —2, ...
Применяя линейные преобразования к равенству (27), пол\чаем остальные формулы (24)-(28). Существует также прямое доказательство этих преобразований. Например, для того чтобы доказать равенство (25), мы можем поступить следующим образом (см. Bailey, 1935): запишем равенство (23) в виде (1 — ZfW-C р 6; с; z) = F (с — а, с — Ь; с; г), (29)
разложим обе части равенства в ряды по степеням z и сравним коэффициенты при zn. Получим
\ (a)r(b)r (c — a — b)n-r __ (с —а)„(с—%
L (C)rГ! (Л-Г)! (с)„л!
t=o
н, следовательно,
(O)r(P)r(T-Ti)r =(с — а)я (с — Ь)п
(с)Г(1 + в + & — с — л)гг! (с)„(е — а — Ь)п-