Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
C = г, 1-
1 — 2'
1 1-і. г
1 — 2
(Ю)
Умножим решение уравнения Римана с особыми точками 2 = 0, со, 1 на 2Р(1—г)\ Тогда можно выбрать числа р и т так, чтобы один из показателей в точках 2=0 и z=l равнялся нулю. Поскольку в каждой из точек мы можем приравнять нулю оцин из двух показателей, получаем 2-2-6 = 24 преобразований уравнения 2.1 (1) в себя. Это приводит к 24 решениям вида
z9(\—zf F (а*, Ь*\ с*; г*),
где г* — одно нз преобразований (10) и а*, Ь*, с* — линейные функции от a, b, с. Эти решения называют рядами Куммераг, онн даны в формулах 2.9(1) — 2.9(24). Эти 24 решения можно разбить на тесть множеств так, чтобы четыре ряда, принадлежащих каждому множеству, задавали одн} и т) же ф}нкцню; шесть пол\ чающихся ф}нкцнй, вообще говоря, различны. Мы будем обозначать их U1, Ui, ... , ив.
Любые три из них связаны линейными соотношениями с постоянными коэффициентами. Возникающие 20 линейных соотношений (справедливых в пол) плоскости Re z > 0) указаны в формулах 2.9 (25) — 2.9 (44).
2.6.2. Квадратичные и кубичные преобразования. Следующие соотношения вытекают нз квадратичных и кубичных преобразований гипергеометрического ряда:
'О со 1 Pl 0 а, а,
z \ = P I )
— 1 OO 1 PI а, 2а, а3
где «a + as + aj + aj = 4"» и
,0 OO 1
2а „ а,
= P
J
/—1 OO 1 aS
U
2а.
Vz
Y Z-1
(И)
2aj as
, 1 w Wi
Р\ О
2 I = PI
1 1
з" °3
«8
(12)
где + = и w = exp • Оба соотношения были открыты Рима- 2.7] КОНФОРМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 103
ном и исследованы Э. Гурса (Е. Qoursat, 1881) (см. также Е. W. Barnes, 1908 и О. N. Watson, 1909).
В некоторых случаях существуют также преобразования высшей степени, причем все входящие в них постоянные являются рациональными числами. Относительно этого см. Е. Qoursat, 1881, 1938.
2.7. Конформные преобразований
(См. Б! Goursat, 1936, 1938.)
2.7.1. Группа гипергеометрического уравнения. Если ии одна из разностей показателей 1—с, Ь — а, с — а — Ь не является целой, то формулы
U1(Z) = F(OtIr7IrlZ), \
Ui(Z) = Zi-'F(а—с + 1, Ь — с + 1; 2 — с; г) )
определяют два линейно независимых решения уравнения 2.1 (1), которые
однозначны и регулярны в области
1
<1. Однако для обоих реше-
ний по крайней мере одна из трех точек 0, оо и 1 является точкой ветвления. Рассмотрим, что происходит с решением (1), когда z описывает любой замкнутый контур, начинающийся и оканчивающийся, например, в точке
z = "2" и обходящий одну или несколько точек ветвления. Эту задачу можно свести к следующей: что происходит при обходе контуров Cm и Ctu, начинающихся и оканчивающихся в точке z =^ и обходящих один раз в положительном направлении точки Z = 0 и z=\ соответственно. Обхоц любой петли сводится к обходу одной или нескольких петель С,QllCtlt и С[0„ Cl.,, где штрих означает обход в отрицательном направлении. Из формул 2.9(25) — 2.9(44) легко следует, что U1 и Ui преобразуются при обходах по контурам Сш и C111 следующим образом:
(«і — «і, Iu2- e~tlKC и,;
-B11U1 + В -BnUl +BiiUi,
(2•
, / U1-* B11U1 +BliUit
» •• і о « W
где
S11=1-2І^ H^ W
11 sin (яс) '
В. = -2Ы Г (с) Г (с-
Oxt--гіпе г (с—а) г (с—b)l (b) Г (а) »
д .-?.Г(2-С)Г(1-С)_
В"~2Ые Г(1-«>Т<1-»)Г<1+»-с)Г(1+*-с)'
В =1 1 sin эт (с ?) sin эт (с Ь)
" sin (та) * - 1SO ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (Гл. 2
Доказательство формулы (2) очевидна Для того чтобы доказать формулу (3), будем исходить из формулы (см. 2.10(1))
F(a, ft; с, z) = \uF(a, Ir, a+ft —с +1; 1 — z) +
+Хм(1 — zy>~*-*F(c—а, с — Ы, с—в — ? + 1; 1 — г),
zt~eF(a — c +1, ft—с + 1; 2 — г, *) =
=XilZ1-" F (в—? + 1, ft — с + 1; a+ft—с + 1; 1 —г) +
+ Х„(1— ZY-a^Zt-cFiX-а, 1—Ir, с — а — ? + 1; 1 — г) =
S=I11Flel Ьг, e + ft —с + 1; 1 —Z) +
+ Хи(1 — zY-°-bF{c — а, с — ft; с — а—Ъ +1; 1 —г).
Отсюда следует
IXmU1 — X12U, = (XuX,s — XlsXal) F (а, Ь\ а + й —с + 1; 1 —г), ^XslU1-X11U,=
= (XlaXsl—X11Xtl) (1 — zY-*-*F(c — a, с —Ir, с-а—Ь +1; 1 —г). Из этих равенств имеем
с Г XttK1-XmH4-XmU1-X1,И», Ш \ Хм", -X11Ui-Cxp [2«І (с —a — ft)] (X81H1 — X11Hi).
Здесь
X — T(e)T(c — a—b) . _ Г(с)Г(а + »^-с) Г(с — в)Г(с—ft) ' Г (а) Г (ft) '
_ Г (2 — с) Г (с — а — Ь) . _ Г (2 — с) Г (a + ft — с) г1~ Г(1 —а)Г(1 — 6) ' А"—Г(в —с+1)Г(&—с+1)'
Чтобы закончить доказательства формул (3), достаточно повторно применить основные соотношения для гамма-ф}нкции.
Обход по любому замкнутому контуру, Начинающемуся и оканчивающемся в фиксированной точке, скажем z=-^-, приводит к линейному преобразованию решений U1 и н2; множество всех этих преобразований образует группу гипергеометрического уравнения Все преобразования группы могут быть получены путем композиции преобразований, соответств)ющих формулам (2) и (3) Обычно множество дробно-линейных преобразований для
также называют группой гипергеометрического уравнения. Если с от-
лично от 0, ±1, ±2, ..., то (2) и (3) всегда имеют смысл. Очевидно, что если хотя бы одно из чисел а, Ь, с—а, с — b—целое, то либо U1, либо Ui лишь умножается на постоянный множитель при обходе по любому замкнутому контур}. Это приводит к вырожденному случаю, который был исследован в п. 2.2. Если с — целое число, то может оказаться необходимым модифицировать соотношения (2) и (3). Для этого можно использовать равенства 2.1(18), 2.1(14), 2.2(4), а также 2.10(7)-210(15). Например, в невырожденном
