Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
я— i * " ь
n- I
8 Г. Бейтмен, А. Эрдейи 66 ГАММА-ФУНКЦИЯ (Гл 1
S zan S
* ctg z = ? (- 1)» 2 snB8n = - 2 S ? (2") Zsn, !»К* (3)
и =O ^n'' B=O
OO
-!b-i
tg Z = У (— 1)"+»2і" (2"» — 1) Bin - —
(2л)1
я =i
= 2 2 (2м - 1) с (2л) »«"», I z I < * ; (4)
в=1 6
со
-L_ = z(ctg|-ctgz) = 2 2(- ^0-2-^-(5-. I«l<* (5)
я=0
z oo
Incosz--Jtgzrfz=2(-l)B(2aB-l)2s»-'?sn7r^, IC-J. (6)
в=!
оо
2гая+і _
0 в=!
Положим
я =O
OO
E-Z= 2(-ijb^W |г|<" (8)
sin
я=0
Сравнение с (4) н (5) показывает, что
Oin
Din = 2(1 — 2sn_1) Bin. (10)
Интегральное представление для коэффициентов Csn_, и Din может быть нол) чено нз 1.13(24)-1.13(28).
Разложения более общие, чем указанные выше, получаются из результатов, изложенных в 1.13.1 н 1.14.1 (Norlund, 1922, стр. 196). Приведем два примера:
са
я =O
со
п=0
Оба разложения сходятся при |*|<я. Использовав обозначения, примененные в 1.13(1), получим
В™ =Blm'(Z1 ...ат), =... = 1? = 1. (13) Uli
НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И СИМВОЛЫ 67
4V 1.21. Некоторые другие разложения и символы
* W
Для Г-функцнн и связанных с ней функций применяются также некоторые др\гие обозначения, а именно (см. 1.2):
факториал П(г)=2І=Г(г+1); (Д>
1 — постоянная Эйлера 1.1(4); \1> символ Ганкеля
(Я, п) = д^й {(4®2- Iа) (4»! -3»)... 14«» -(2л-\)Ч} =
rfi+ о + я)
M-~V> л=1, 2, 3, ...; (3)
«II^ + U-л)
символ Крампа
Г (в + -= 6«-L—-
символ Похгаммера
(»)д=а(а + 1)(а + 2)...(а + я-1)=Г(° + П), л=1,2,3,...; (5) биномиальный коэффициент
о 11e + T
c»=c(c-H)(c + 2&)...[c + (a-l)»i=y * « = 2,3,4,...; (4)
.пта_ ( IУ Г (и — а) _ Г(1 + «)
го!Г(—a) ml Г(1 -f-а — т) '
Числа Бернулли Ba часто определяются с помощью разложения
(6)
Z Z Z Z V^ Zan
Т + 5ГГТ-Т'cthT=1 -2(-1)"^?!- <7>
U=I
Из 1.13(1) и 1.13(16) следует, что для определенных таким образом чисел ?„ имеем
Ba = 2 (2я)1 (2*)-»» f] г"8я (8)
г=|
и, следовательно,
(9)
Многочлены Бернуллн часто обозначают через Ф„ (л:) я определяют равенством
OO
2(g**—1) VIa . чг" л=1
Переход к нашим обозначениям 1.13(2) осуществляется по формуле
Фа(*>=В„(х)-Вя(0) {1\)
3* 69 ГАММА-ФУНКЦИЯ [Гл. I
и, следовательно, в силу 1.13(3),
(•*) — •*• Ф8 W = ^i-х, Qt(X)=X11-^XssJr у*. (12) Если определить числа Эйлера En равенством
л=0
ю очевидно, что нз 1.14(1) н 1.14(14) следует
' 2 \si»+i 52,
(2 \si»+i „
-) iy (2/- 4- (14) ГЛАВА 2 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ
2.1. Гипергеометрический ряд
2.1.1. Гипергеометрическое уравнение. Есяи однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет не более трех особых точек, можно, не теряя общности, считать, что ими являются точки 0, оо, 1. Если все эти особые точки «правильны» (см. Уиттекер и Ватсон, 1961, п. 10.3), то уравнение может быть приведено К виду (см. Уиттекер и Ватсон, 1961, п. 10.72)
z(l-z)^L + [c-(a + b + l)z]d?-abu = 0, (1)
где а, Ь, с не зависят от z. Это уравнение называют гапергеометраческим, Будем называть а, Ь, с параметрами уравнения; они могут быть любыми комплексными числами. Положим
(а) -1И±1Ч {а)п~ Г (а) »
иными словами,
(в)0=1, (в)„ = в(а+1)...(« + л — 1), л = 1, 2,3,...
Если сфО, —1, —% ..., то выражение
'и,== 2(а(")1У-а/Гі (а'Ь; с: г)=F{a>Ь' с; г) (2)
п«=0
является решением дифференциального уравнения (1), регулярным в точке Z = O.
Если с= —я, где я=0, 1, 2,..., то
A с+2)«.»"
««"+Vae+n+l. b+n+l; л + 2; г). (3) 70
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
[Гл. 2
Функцию іF1 (а, fr, с; z) называют гипергеометрическим рядом от переменной z с параметрами а, Ь, с Индексы в ^F1 обычно опускают, если нет опасности смешать эту функцию с другими типами обобщенных гиперіео-метрических рядов (см. гл. 4, 5).
Определим дополнительно гипергеометрический ряд в случае с = — т (/« = 0, 1, 2, ... ), когда разложение (2) теряет смысл.
Если а = — я или b = —п, гдея = 0, 1, 2.....причемс = — т, где/я = я,
п-|-1, п-1-2, ..., то положим
г=о
-«. -«. 2)= 2 (-в),П •
(4)
Функции (3) и (4) являются решениями уравнения (1). Таким образом, если —а или —Ь — неотрицательные целые числа, гипергеометрическое уравнение имеет решение, являющееся многочленом от z (когда а = - т или b = — т и с = — п, где п = 0, 1,2,... и т = и -j- 1, л + 2, ..., то ряд (3) обрывается).
Если а я b отличны от 0, —1, —2, ..., то гипергеометрический ряд (2) (или (3) в случае с = — л) абсолютно сходится цля всех значений, лежащих внутри круга |z|<l. Так как из 1.18(4) следует, что
(а)АЬ)п^Т(а + п) Тф + п) Г (с) Г(1) _ (с)„л! Г (a) T(J) Г(с + «)Г(л+1)
<5>
то, применяя признак Раабе (см. Фихтенгольц, т. II, стр. 275), получаем для гнпергеометрического ряда следующий результат:
абсолютно сходится при IzI = I, если Re (в + Ъ — с) < 0,
условно сходится при Izj=I, гф\, если O^ Re (а -\-Ь— с) с I, расходится при (z|=l, если I=SRe (а -\-Ь— с).
2.1.2. Элементарные соотношения. Из определения (2) вытекает, что F (а, fr, с; z) = F (b, er, с; z).
