Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
OO
= 2 «+Q.
в =O
OO
*ч *« O= 2 ^Pw X
я О
X F(а -[- я, Ь + п; с + 2п; 2 51 РАЗЛИЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 95
Они справедливы, если I г |, | С | и либо | г + C r- «С |, либо | г + С j меньше 1, причем сф0, —1, —2, ...
Некоторые билинейные соотношения были доказаны Мейснером (J. Meix-пет, 1941), например,
а>
2 Ф"Р(-п, ft; с; z)F(-n, ?; у; Q =
л = О
с + яіу^/^я-Х, ? + n; ї + я; -J-^7), (8)
со
2 SnF (—я, ft; с; г) F (я — X, ?; у; С) =
п = о
У с? (-^)" Wn(P)n х
_(1+S) Z1cMs + !)8" (0»(ї)» Х
л-=0
xF^n-X, ft + я; с + л;-^) F^n-X1 ? + я; т + я; у-^), (9>
со
2 ft; с; z)F(n-X, ?; ъ ?) =
я = 0
_(i+S) дсх<1+8)8я X
X F [п—X, ft + «; с+ я; ? + я; т + я; j-^], (10)
со
п=0 " "
OO
B-=O
ХР(л-Х, ft + я; с + я; iil) F^-X, ? + я; 7 + n; f^). (П>
Все эти формулы справедливы, если s, г и С таковы, что аргументы всех четырех гипергеометрическнх функций, входящих в эти формулы, отличны от 1 и со, причем величина | s | достаточна мала. Если с, -j —>0, — 1, —1,. то для получения формулы, имеющей смысл, надо сначала умножить обе части равенства на [Г (с)]-1 или (Г (у)]-1, или на оба эти выражения, после 4eJO с или ц, или оба эти выражения устремить к 0, —1, —2, ... В качестве 96 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЁСКАЯ ФУНКЦИЯ [Гл. г
частного случая полученных формул имеем
u (_„, ь- -X, ж)Pir-n, Р; -X; ?) =
п = 0
= (1 + s)*+"+fi (1 + s — SZ)'" (1 + s — SQ-P X
X F \b, fc —X; -yr-,-=^rn-ftI ^2)
L (1 + я — sz)(l +s — sC) I
Так как F(a, b; b; г) = (1 — z)~a, то при с = і = — X одна из этих ц> мм конечна. Полагая в формулах (8) и (9) С =0, получаем
OO
2 С" SaF (—я, ь-, с, z) = (l + s)\F(-X, b; е, у^),
K = O OO
2 С? s»F(n-\, Ь\ с; *) = (! +s)\f( -X, й; с; T±Jj.
я=. О
Наконец, если положить ? = 0 в формуле (12), получаем (1).
Обобщая соотношения Лежандра в теории эллиптических интегралов, Эллиот (Е. В. Elliot, 1904) доказал
Г(1+Х + ц)Г(І+У + Ц)
—7-1Г\ П Г' * '
r(x + [1 + v + Y)r(T + [1)
Есіи X = [<. =v = 0, то из форч\лы (13) следует соотношение Лежандра. Этот результат был также обобщен Диксоном (A L. Dixon, 1905)
2.5.3. Соотношения, содержащие биномиальные коэффициенты и неполную бета-функцию. Определим зависящий от и мноючлен CJJ при помощи равенства
С" — пя . Г (я — и) f1'
4 Г(я+1)Г(-и) |±«(и-1)(и-2)...(а-«+1), (14)
' я= 1,2,3,...
Тогда имеем
? С? 2 51 РАЗЛИЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 97
и, в силу 2.1 (14),
V Г(-0)Г(в-р-1) _ ? + 1 _. а
Г(—1)Г(а—»> V — а +1 о—и+1'
Re (« — »)> 1.
/« + я_рт /-vi ЯІОТІ
—0e-i»(n + m)l»
то имеем также
200 Сд + т у Cg _т w+ I cT
С" + т Cm ZJ С? т » — «+'С?'
п=0 ® » л = о о
Комбинируя это равенство с (15), получаем
CS
Ca
Так как
"у ' _ tf+1 Л __?»_\
^ocS "-"+1V c»+1J
(16)
Равенства (15) и (16) называют «теоремой Лерха».
Положив в формуле 2.1(25) г = —1 и применив равенство 2.1(14), получим
2-«Г(1-M-^rfi) «о CtaCab
Если положить в=» — от, где от —целое число, то получим у cZIgII __ 2і" Г (1 — т-\-и) У%
Точно так же линейные и квадратичные преобразования гипергеометрическою ряца могут быть использованы для того, чтобы вычислить в замкнутом виде некоторые суммы, содержащие биномиальные коэффициенты. При этом использ\ются следующие методы:
1) придание специальных значений г,
2) выбор в качестве а или b отрицательных целых чисел,
3) сравнение коэффициентов при одной и той же степени г в различных выражениях для гипергеометрического ряда, например в обеих частях равенства 2.1(22) или друюго равенства подобного типа
Например, из равенства 2.1 (14) следует, что F (п,—п; 1; 1)=0, Это может быть записано в виде следующего равенства:
т
2(— іу-' (от + п—1)1 _ 1 яі яі (m — я)! m *
я = і
Другим примером является формула Заальшютца 2.1(30). 4 Г, Бейтмен, А. Эрдейи 1SO ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (Гл. 2
Усеченный биномиальный ряд
т -1
n = О
можно выразить через два гипергеометрических ряда Именно
,(If 1; -г)-гшт(^° + Ч)тіР{т-аі 1; я+1; _2)
или
Ст- 1 zm-i р(\ — т> 1; а —m-J-2; —sr1), афт —2, т — 3, ..., 0.
Неполная бетагфункция. В математической статистике использ) югси функции
BxiP, ?) = J^1O-0е"1 dt
Шг
B3tip, <?) называют неполной бета-функцией. Имеют место формулы ВХ(Р, q)=P-1XPFiP, 1 — <Г,р + 1,х), Г(р)Г(у)
S1 ір, я) --
Г (if + ?)"
Следующие рекуррентные соотношения вытекают из 2.8(31) — 2.8(45) (относительно приложений см. Т. A. Bancroft, 1949):
x'xiP, q)-'x(P+U + + ?-1) = 0,
<p + q—px)Ix(p, q)—qIxiP, ?+ 1)-/>(1— х)ІжІР+ 1, ?-1) = 0, <7 + i)+p/*(p + i. q)-ip + q)ix(p, ?)=<>¦
2.5.4. Непрерывные дроби. Гаусс в 1812 г. (см. Gauss, 1876) разложил отношения некоторых ассоциированных гипергеометрических рядов в непрерывные дроби Типичным примером является разложение
F(a, Ь+ 1; с+1; г) __1_
F (а, Ь; с, г)
I___
і _ V1Z_ где
РАЗЛИЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
(fl + fl— 1)(С— Ь+п — 1) (с + 2п —2)(с + 2«—1)
(с+ 2л — 1)(й + 2Л) ' "-1' А * -
Всяи положить 6 = 0, потхчим непрерывную дробь для F (а, 1, с; г).
