Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтмен Г. -> "Высшие трансцендентные функции" -> 29

Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietranscefunciit11973.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 87 >> Следующая

OO

= 2 «+Q.

в =O

OO

*ч *« O= 2 ^Pw X

я О

X F(а -[- я, Ь + п; с + 2п; 2 51 РАЗЛИЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 95

Они справедливы, если I г |, | С | и либо | г + C r- «С |, либо | г + С j меньше 1, причем сф0, —1, —2, ...

Некоторые билинейные соотношения были доказаны Мейснером (J. Meix-пет, 1941), например,

а>

2 Ф"Р(-п, ft; с; z)F(-n, ?; у; Q =

л = О

с + яіу^/^я-Х, ? + n; ї + я; -J-^7), (8)

со

2 SnF (—я, ft; с; г) F (я — X, ?; у; С) =

п = о

У с? (-^)" Wn(P)n х

_(1+S) Z1cMs + !)8" (0»(ї)» Х

л-=0

xF^n-X, ft + я; с + л;-^) F^n-X1 ? + я; т + я; у-^), (9>

со

2 ft; с; z)F(n-X, ?; ъ ?) =

я = 0

_(i+S) дсх<1+8)8я X

X F [п—X, ft + «; с+ я; ? + я; т + я; j-^], (10)

со

п=0 " "

OO

B-=O

ХР(л-Х, ft + я; с + я; iil) F^-X, ? + я; 7 + n; f^). (П>

Все эти формулы справедливы, если s, г и С таковы, что аргументы всех четырех гипергеометрическнх функций, входящих в эти формулы, отличны от 1 и со, причем величина | s | достаточна мала. Если с, -j —>0, — 1, —1,. то для получения формулы, имеющей смысл, надо сначала умножить обе части равенства на [Г (с)]-1 или (Г (у)]-1, или на оба эти выражения, после 4eJO с или ц, или оба эти выражения устремить к 0, —1, —2, ... В качестве 96 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЁСКАЯ ФУНКЦИЯ [Гл. г

частного случая полученных формул имеем

u (_„, ь- -X, ж)Pir-n, Р; -X; ?) =

п = 0

= (1 + s)*+"+fi (1 + s — SZ)'" (1 + s — SQ-P X

X F \b, fc —X; -yr-,-=^rn-ftI ^2)

L (1 + я — sz)(l +s — sC) I

Так как F(a, b; b; г) = (1 — z)~a, то при с = і = — X одна из этих ц> мм конечна. Полагая в формулах (8) и (9) С =0, получаем

OO

2 С" SaF (—я, ь-, с, z) = (l + s)\F(-X, b; е, у^),

K = O OO

2 С? s»F(n-\, Ь\ с; *) = (! +s)\f( -X, й; с; T±Jj.

я=. О

Наконец, если положить ? = 0 в формуле (12), получаем (1).

Обобщая соотношения Лежандра в теории эллиптических интегралов, Эллиот (Е. В. Elliot, 1904) доказал

Г(1+Х + ц)Г(І+У + Ц)

—7-1Г\ П Г' * '

r(x + [1 + v + Y)r(T + [1)

Есіи X = [<. =v = 0, то из форч\лы (13) следует соотношение Лежандра. Этот результат был также обобщен Диксоном (A L. Dixon, 1905)

2.5.3. Соотношения, содержащие биномиальные коэффициенты и неполную бета-функцию. Определим зависящий от и мноючлен CJJ при помощи равенства

С" — пя . Г (я — и) f1'

4 Г(я+1)Г(-и) |±«(и-1)(и-2)...(а-«+1), (14)

' я= 1,2,3,...

Тогда имеем

? С? 2 51 РАЗЛИЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 97

и, в силу 2.1 (14),

V Г(-0)Г(в-р-1) _ ? + 1 _. а

Г(—1)Г(а—»> V — а +1 о—и+1'

Re (« — »)> 1.

/« + я_рт /-vi ЯІОТІ

—0e-i»(n + m)l»

то имеем также

200 Сд + т у Cg _т w+ I cT

С" + т Cm ZJ С? т » — «+'С?'

п=0 ® » л = о о

Комбинируя это равенство с (15), получаем

CS

Ca

Так как

"у ' _ tf+1 Л __?»_\

^ocS "-"+1V c»+1J

(16)

Равенства (15) и (16) называют «теоремой Лерха».

Положив в формуле 2.1(25) г = —1 и применив равенство 2.1(14), получим

2-«Г(1-M-^rfi) «о CtaCab

Если положить в=» — от, где от —целое число, то получим у cZIgII __ 2і" Г (1 — т-\-и) У%

Точно так же линейные и квадратичные преобразования гипергеометрическою ряца могут быть использованы для того, чтобы вычислить в замкнутом виде некоторые суммы, содержащие биномиальные коэффициенты. При этом использ\ются следующие методы:

1) придание специальных значений г,

2) выбор в качестве а или b отрицательных целых чисел,

3) сравнение коэффициентов при одной и той же степени г в различных выражениях для гипергеометрического ряда, например в обеих частях равенства 2.1(22) или друюго равенства подобного типа

Например, из равенства 2.1 (14) следует, что F (п,—п; 1; 1)=0, Это может быть записано в виде следующего равенства:

т

2(— іу-' (от + п—1)1 _ 1 яі яі (m — я)! m *

я = і

Другим примером является формула Заальшютца 2.1(30). 4 Г, Бейтмен, А. Эрдейи 1SO ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (Гл. 2

Усеченный биномиальный ряд

т -1

n = О

можно выразить через два гипергеометрических ряда Именно

,(If 1; -г)-гшт(^° + Ч)тіР{т-аі 1; я+1; _2)

или

Ст- 1 zm-i р(\ — т> 1; а —m-J-2; —sr1), афт —2, т — 3, ..., 0.

Неполная бетагфункция. В математической статистике использ) югси функции

BxiP, ?) = J^1O-0е"1 dt

Шг

B3tip, <?) называют неполной бета-функцией. Имеют место формулы ВХ(Р, q)=P-1XPFiP, 1 — <Г,р + 1,х), Г(р)Г(у)

S1 ір, я) --

Г (if + ?)"

Следующие рекуррентные соотношения вытекают из 2.8(31) — 2.8(45) (относительно приложений см. Т. A. Bancroft, 1949):

x'xiP, q)-'x(P+U + + ?-1) = 0,

<p + q—px)Ix(p, q)—qIxiP, ?+ 1)-/>(1— х)ІжІР+ 1, ?-1) = 0, <7 + i)+p/*(p + i. q)-ip + q)ix(p, ?)=<>¦

2.5.4. Непрерывные дроби. Гаусс в 1812 г. (см. Gauss, 1876) разложил отношения некоторых ассоциированных гипергеометрических рядов в непрерывные дроби Типичным примером является разложение

F(a, Ь+ 1; с+1; г) __1_

F (а, Ь; с, г)

I___

і _ V1Z_ где

РАЗЛИЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

(fl + fl— 1)(С— Ь+п — 1) (с + 2п —2)(с + 2«—1)

(с+ 2л — 1)(й + 2Л) ' "-1' А * -

Всяи положить 6 = 0, потхчим непрерывную дробь для F (а, 1, с; г).
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 87 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed