Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
T(I-V)vF(H-V) -I^W-C.
Следовательно, имеем
Wr [Л. s-j--sin (vji). (59)
Если V — целое число, то определитель обращается в нуль, что согласуется с доказанной и 7.2.4 линейной зависимостью Ja и 7_я. Относительно 7.2.4' 7.8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВЕССЕЛЯ 22
определителей Вронского от других функций Бесселя я модифицированных функций Бесселя см. п. 7.11. Из (59) и (54) вытекает, что
¦/-V+. (*> Jy і*)+J-V W Jv-1 (*) =» J" sin (vn). (60)
Относительно других подобных формул см. п. 7.11. J
Аналитическое продолжение. Функции Бесселя первого рода от переменного zelmn, где от — любое целое число, могут быть, в силу (2), представлены в виде
Jw(zelmn)=etmKVJv(z), от = ± 1, ± 2, ± 3,... (61)
Относительно соответствующих соотношений для других типов функций Бесселя см. п. 7.11.
Дифференциальные уравнения. Ломмель нашел широкий класс дифференциальных уравнений, решения которых могут быть выражены через функции Бесселя. Одно из преобразований Ломмеля имеет вид
ж-RV, w =
где ? — независимое переменное и v—новое зависимое переменное. Это преобразование переводит уравнение (1) в
4^- + (1 - 2«К -Н( + (а2 - V Y)1 V - 0. (62)
Если W1 (z) и W2 (г) являются двумя линейно независимыми решениями уравнения Бесселя, то общее решение уравнения (62) имеет вид
»I « S0 (PSv) HV1 = S' (PSv). (63)
Относительно других дифференциальных уравнений, решения которых могут быть выражены через функции Бесселя, см. Камке (1965, стр. 452—454). Общее решение неоднородного уравнения Бесселя
d?w dw
"•"йг+ *-? + <*¦-v^ <и>
может быть получено с помощью метода вариации произвольных постоянных в виде
W=* A W1 (Z)+ В W2 (Z) + и (г), (65)
где wі (г) и Wi (z) — два линейно независимых решения однородного уравнения (1), и (Z) — частное решение уравнения (64), определяемое формулой г г
Ca(Z)--Wii*) Jt-1W1 (t) / (t) dt + (z) Jt-lWt (t) / if) dt, (66)
Z«
а С — постоянная в определителе Вронского функций Wi и W2 (см. (58)).
Функции Jy(z) и az J^ (z) + b /v (z) удовлетворяют соответственно следующим дифференциальным уравнениям: d3w d w
Z1 (*'-^ip- + 2 ~3v2)^f + К*'- v*>* - +v^ " - (67>
г» [а* (*» - V) + b2\ - ж [в* (*> -J- v*) — A*] -j-
+ [вг (** — v2h -t- 2abzl -f Vі (Zi — vі)] w =- а (68) 22 гл. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ 17.7.3
7.3. Интегральные представления
7.3.1. Коэффициенты Бесселя. Применяя теорему о вычетах к формуле 72 (25), получаем
2яI Jn (аг) = a" J 1 ехр J^ — -^j dt, п = О, I, 2, ... (1)
Здесь С является любым простым замкнутым контуром в плоскости і, охватывающим начало координат. Если положить в равенстве (1) а = 1 и выбрать в качестве С единичную окружность с центром в начале координат, t = eilf, получаем
2Я Я
2nJn(z)=*f в'= 2 Jcos (г sin <p-wp)dq>, я=» 0, 1,2,... (2) о о
Это представление было получено Бесселем.
7.3.2. Интегральные представления типа Пуассона. Для любого v имеем интегральное представление типа Пуассона (относительно обобщения этой формулы см. 7.8 (11))
л
2
г /v + -bv (*) =-|r/-|jV J COS (ZSln4)) (cos<p)2vrfq>, Rev>--i. (3)
Этот результат может быть доказан путем разложения cos (z sin <р) в ряд по степеням z и почленного интегрирования. При этом возникают интегралы
я
T
J (sin ф)2т (cos q>)2v dtр, о
которые, в силу 1.5 (19), равны
г(у+т)г(т+т)
2Г(т+у + 1)
Таким образом,
Г I'+j)''W-TTi1 11 (2„). Г (, + „ + !) •
Применяя формулу удвоения 1.2 (15) для гамма-функции при (2т)! =» = Г (2т 4-1) и используя также 7.2 (2), мы получаем равенство (3). Небольшие модификации этого равенства даны в п. 7.12. ТАЗІ 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 23
Интеграл Пуассона в виде 7.12 (6) может быть использован для вывода некоторых неравенств, касающихся функций Бесселя Zv (г) Пусть v вещественно, V > — и г — л: -J- іу (ж, у вещественны), тогда
_я
2
(Щ
T(V-Hl)Uv J «Iу 1 (cosф)2* d(f
я " і
в, в силу 1.5 (19),
I * Г *|у|
lyV^'<|т| T(TTT) (4)
(см. также 7 10 (22)).
7.3.3 Представления с помощью контурных интегралов. Функции Бесселя для любых значений порядка v могут быть представлены с помощью контурных интегралов. Пусть а — комплексное число, такое, что Ke а > 0; тогда мы имеем представление |0+>
2я/ yv (w) *v j exp *>j
—jo (0+)
' -(J)* J »P ('- dt, Rea >0, |arg/|<it. (5)
-ее
(0-f)
Здесь символ J обозначает, как обычно, интегрирование вдоль контура,
-JO
который начинается в бесконечности на отрицательной вещественной /-полуоси, обходит начало координат против часовой стрелки и возвращается в исходную точку. Очевидно, что представление (5) является обобщением преасгаилення (I), именно: еслн v — целое число, то подынтегральная функция в равенстве (5) однозначно определена и петля может быть деформирована в замкнутый контур, охватывающий начало координат Для того чтобы доказать равенство (5), используем в правой части этого равенства разложение
OO
гз\т
m-u
и почленно проинтегрируем. Из 1.6 (6) получаем (0+)
Таким образом,
Г .<K,-m-v-i dt __
