Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
7.2.2. Модифицированные функции Бесселя любого порядка. Если заменить в дифференциальном уравнении Бесселя (1) z на iz, оно примет вид
, d2w . dw . , , л
"-Jp-+г~а7 — w (H)
Если V ие является целым числом (относительно целых значений V см. п. 7.2.5), то Jy, (iz) и /_v (Iz) являются двумя линейно независимыми решениями уравнения (11). Чаще, однако, используются функции
/уя / /П\ OO IJL \ m=0
(-V (*V«"
1 * Г(у + 1) (12)
(см. 6.9(11)) и /_¦»(*)• Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода. Если v — вещественное число и z положительно, эти функции принимают вещественные значения. Функция
toW^w-^WJ-]/І (2*) (13)
(см. 6.9(14)) также является решением уравнения (11). Ее называют модифицированной функцией Бесселя третьего рода или функцией Бассе (хотя современное определение дано Макдоиальдом). Очевидно, что
К.? (z) ~K4(z), (14) 14 гл. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ 17.7.3
а из (12), (5) и (в) следует, что
ІУЯ І ІЯ\ ІУЯ I 1я\
/CvH = Iiw 2 HW U2J=-^rte- 2 Я® U~ 2J, (15)
а потону
(Ш\ ІЯ у ІЯУ
т « 2 J=-f * 2 Я^Ч«'")--Щ.е~ 2 Я®(*), (16)
глу /
07)
/Cv (г) принимает вещественные значения, если v вещественно и г положи-тельно.
7.2.3. Функции Кельвина и связанные с ними функции. Функции Кельвина ber (х) и bei (х) при вещественных х определяются равенствами
= /0 U« 4 J = /0 U« 4 /•
[ии Б
иые значения г, получаем соотношения
ber (X) + і bei (дг) = Ja \хв 4 J = J0 Ue 4 ). (18)
Обобщая ато определение на функции Бесселя любого порядка и комплекс-
/ з ія\ -JyW 4 j,
berv (z) ± і beiv (z) = Jv \ze * ), (19)
тіяу / ±_?я\
kerv (г) ± і keiv (г) = в iKyXze iJ. (20)
Вместо (20) можно использовать
/
Iierv (z) + і helv (z) = Hf \ze 4 }, (21)
herv (z) - I heiv (z) = Hf UA (22)
а потому
2 kerv (г) = — я heiv (z), 2 kelv (г) = я herv (г). (23)
Если V вещественно и г положительно, то функции berv (z), beiv (г), kerv (г), kelv (z), herv (z), heiv (z) принимают вещественные значення (относительно деталей см. McLachlan, 1934, стр 119, 168).
7.2.4. Фуниции Бесселя целого порядка. Функции Бесселя первого рода целого порядка называют также коэффициентами Бесселя. Если л — целое положительное чиело, то первые п — 1 членов бесконечного ряда, определяющего /_„ (г), обращаются в нуль, поскольку гамма-функции, стоящие в знаменателе этих членов, имеют полюс. Остающиеся гамма-функции могут быть заменены факториалами, и мы получаем
( > 2т—л
т)
т\(т — п)\ т=п
Заменяя здесь т на n-\-l, / = 0, 1, 2,..., получаем
(г)= (—1)"(г). (24)
Это соошошение справедливо для всех целых значение п. 7.2.4' 7.8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВЕССЕЛЯ 15
Коэффициенты Весселя возникают при разложении ехр[г(/— <-1)/2] во степеням t. Чтобы доказать это, заметим, что
г, * - (НУ » (__L Г
е е
/ = O IlImL
Ясно, что коэффициенты при t" в этом разложении являются не чем иным, как Jn (г). Это приводит к производящей функции
UU
exp[(f-J-1J-J]- ^ Wn (г),
или если заменить г на аг и і иа Lf н более общему выражению для
коэффициентов Бесселя
OO
. J0 (az) + ? /„ (az) [(1)" + (_ ±у]. (25)
ПЖІ
При о = 1 и / = е получаем формулу Якобн — Аигера
tf" ilntP- 2 Jn (.2) -
= J0 (Z) + і S <*> cos (2/іф) + 2/ 2 Лл-1 (*> Stn [(2я— 1) ф], (26)
4-І п-1
а при / я. /V'"
еп С05ф- 2 Л & -J0(Z)+? 2 In Jn (z) cos(яф). (27)
Я" - JL. ЦВ]
Если V — целое число, то правые части равенств (4), (5) и (6) принимают неопределенную форму Однако предел этих правых частей при v-*n (целому) существует и может быть использован для определения функпии Бесселя второго и третьего рода целого порядка Ясно что нам достаточно вычислить
Yn(z)- Hm Yv(Z), я-0. 1, 2,... Применяя к равенству (4) правило Лопиталя, получаем
'•«¦>-г Ifc-L' w 16 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ
Из (2) и 1.7 (1) вытекает
6J
Г =yV W »п ^j-
Bt=O
dv
m = 0
1)
17.2.4
(29)
(30)
и из формул 1.17 (11) и 1.17 (12) при яі<л—1 L (—v-f m-(- I)
л-1
Поэтому из (30) и (24) имеем
2m-л
(Я — т — 1) !
ml
т = 0
+ S (-1)--(?'
2m- п
ц>(т + 1 -п) (т — п) I т\
Относительно частных значений v в (29) см. Mitra (1925), Airey (1935а) и также Muller (1940). Если ввести новый индекс суммирования Z = т—п, то бесконечная сумма в этом выражении может быть записана в виде
1=0
Мы получаем, таким образом,
п—1
S00f 1Ч/Г*\2<+" *(*+!) ( U І27 Л (/ + я)! '
¦.2т-п
(Zl-W-I)I т\
- J] (у)
т=0
(31)
Эта формула может быть переписана в виде
л-1
я Yn (г) - 2 [V -f In (-J)] Jn (г) - J
/и=0 \П+2т
\2™" я (Я_И—1)1
OO
-S
т = О
(-1)
лі
Ш
т\ (п-{-т)\
(Ага + л +Ат)
т!
, п = 1, 2, 3,
(32)
Мы использовали здесь равенство 1.7 (9) и положили
A«e I-1 -J-2-1 -J- ••• +и-1, «= 1, % 3, .... А»=«0. 7.2.6| 7.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ 17
Если v = O1 то из (30) следует, что конечная сумма в равенстве (32) отсутствует. Таким образом, мы получаем
°° 2 т
