Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
(17)
может быть представлена в окрестности точки т — О в виде
OO
Я=1
причем радиус сходимости этого разложения равен расстоянию до ближайшей особой точки т, которая соответствует значению v = vtt ± 2яі.
Когда V возрастает от —оо до W0, то т убывает от со до 0; когда v продолжает возрастать от Vtt до оо, то переменное т также возрастает от О до со. Определим коэффициенты Ья в (18) так, чтобы arg т = 2л на первой части и arg т — О на второй части пути интегрирования. Тогда мы имеем
со
Kp (X) - у вГх t W J в~ w ІФ (т)—Ф (те,2я)1 dx. (19) M-D
7.3.7] 7.4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
35
Используя (18) и применяя лемму Ватсона (Copson, 1935. стр. 218), получаем искемое асимптотическое разложение
f S w'^P^+i)+о(^)"
. я=0
Коэффициенты в формуле (18) выражаются по теореме Коши
я л
„-= /т"ТФ(т)Л- f Ig(V)-S(V0)]'1 dv,
4я Ib
(20)
(21)
где интеграл берется вдоль малого замкнутого контура, охватывающего точку V = Vtt в положительном направлении.
-я—і
Так как [g (v) — g (Vtt)] * имеет в точке V=-Ve полюс порядка 2/t-f-l, можно разложить
1
(v-vj»+1 Ig (V) - g (Vtt)]"""7 в ряд Тейлора. Мы имеем
(V-V0)*"+' [*(*)-,<*,)]""* - S
M
где
^ = 7Г {~ ^+1 lg (V) ~ * } • (22)
С другой стороны, теорема Коши показывает, что
я 1
2яМ|") = J (V — »e)ie_< [g (v) — g (vtt)] Jdv, (23)
где интеграл взят вдоль замкнутого контура, охватывающего точку v =» v». Сравнение (21) и (23) дает значение коэффициентов в (20):
(24)
Mh получили, таким образом, асимптотическое разложение
Kp(X) = -I-?-
V* (Рг+х*)
ехр (-/^т^+рагсйп X
-M-I
2 2татТ («+-j) V(p>+x>)~m + ОС«"*)
-т=0
Л * > 0, (SS)
где
1+2/Я
гяі+і*
а* 86 ТЯ Г. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ТЕОРИЯ ІГ.4.8
Первые коэффициенты в (25) имеют вид
aO"1' «I—5-+^(1 + 7») •
3 77 Л . х*\~1 . 385 /. . *г\~2
3 77 Л і . 385 Л , *г\"
вг-W-3456" \ PV
(28)
Аналогичное разложение получил с помощью метода стационарной фазы J. Bljl (1937, стр 23) Он вывел следующий результат, справедливый при p>Vx> 1:
«Р ( - WT?+ P Arsh J) 2»d!fflr [m +1) Kp(X) —--——- -
Cexp I — VWT?+ P А»Ь -J-)
?7)
ГТ * JfT !
Здесь W = /» 1/ -илн У P2+Xі у — в зависимости от того, будет ли
VX Wp
4 4
р<Уг*г или P > V?
Для коэффициентов в левой части неравенства (27) выполняется рекуррентное соотношение*)
где rf0"= 1, dt — di = 0. Здесь | m^1 J интерпретируется как нуль, а сумма
распространена на все значення /, для которых m —I нечетно и 0</<»»—3. Из (28) вытекает, что
4>=1, rfs = 0, dt--УУ + лга, + ]
rf8 - 56p2 + 35 (p2 + X2) - Vp1 + Xі и I (29)
dt0 = — 21 OOps (ps -f- Jt2) + 246рг -f- 210 (p2 + x*) — VprT? '
Соответствуищие разложения для Jp (х) и H^ (х) получаются из найденного в 7.3 (20) и 7.3 (23) выражения Зоммерфельда с помощью метода наискорейшего спуска (см. Debye, 1909, Bai сон, 1949, стр. 262; Weyrich, 1937, стр. 49). Относительно выбора пути наискорейшего спуска в различных случаях см Emde (Т937, 1939) и Emde, Ruhle (1934). Здесь возникают разные случаи в зависимости от того, будет ли р больше илн меньше, чем X, илн же будет лежать в окрестности х Они перечислены в формулах 713(11) — 7.13(16) Формулы для верхней границы остаточного члена
в разложениях 7.13(11) и 7.13(14) и рекуррентные соотношения для коэффициентов были получены соответственно Мейером (Meijer, 1933, стр 108) и Ваи Вином (Veen, 1927, стр 27).
*>
В первом томе вместо ^ ™ J используется обозначение С». 7.3.7] 7.4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 37
Недавно (см Schobe, 1948) из контурного интеграла (7.3)25 были получены два различных асимптотических разложения для второй функции Ґанкеля В отличие от рядов Дебая, найденных в 713(11) и 713(13), члены рядов Шебе не являются элечевтарными функциями, а выражаются через вторую функцию Ганкеля порядков 1/3 и 2/3 Первые члены даются формулами Никольсона 7 13 (27) и Ватсона 7 13 (34) соответственно
7.4.3. Промежуточные области. Асимптотические выражения 713(11), 7.13 (13) и 7 13 (15) для функции H^ (х) справедливы соответственно для случаев когда х> р, х< р их приблизительно равно р Однако онн не охватывают всех возможностей, поскольку в последнем случае наложено
добавочное ограничение х — р=0 . В переходной области, то есть в случае, когда близко к единице, но | х — р | — большая величина, применяются другие формулы. Они были выведены Никольсоном (Ватсон, 1949, стр 275; Schobe, 1948, Tricomi, 1949).
Формула Никольсона для функций Бесселя первого рода целого порядка имеет вид
і і
Ja (*) 1 (D3K1G), (30)
¦3
-- -Г 1
Л(*)~3 3(Х)3 У,(Е)+У ±(g) , (31)
[з "з J
в зависимости от того, х<п или х> п. Здесь
ЪУ2х\х-п\*' (32)
(Относительно Ke(JC) см. 7.13(24) и 713(26).) Эти формулы выводятся с помощью принципа стационарной фазы (Ватсои, 1949, стр. 256). С этой целью будем исходить из интегрального представления 7.3(2):
я
»/«(*)= Г cos (я<р — X sin<р) dy, (33)
о
Фаза стационарна, если ~хsln^ =0, то есть если costp = —.
