Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
10.21. Некоторые классы ортогональных многочленов......................................216
10.22. Орто-ональные многочлены дискретного переменного ...... ......... 219
10.23. Многочлены Чебышева дискретного переменного и их обобщения......... 220
10.24. Многочлены Кравчука н аналогичные им многочлены ... ...... ...... 221
10.25. Многочлены Шарлье ................................ . 223
Глава 11 СФЕРИЧЕСКИЕ И IИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
11.1. Предварительные ...................................................................225
11.1 1. Век горы........................................................................225
U.U2. Многочлены Гегенбауэра.................................228 8
ОГЛАВЛЕНИЕ
11.2. Гармонические многочлены...................................229
11.3. Сферические гармоники ...........................................................232
11.4. Теорема сложения .............................................235
11.5. Случай р=1, А(л, р) = 2я + 1 ........................................................241
11.5.1. Производящая функция для сферических гармоник в трехмерном случае . . 241
11.5.2. Теория полюсов Максвелла....................................................243
11.6. Случай р = 2, h{n, p) = (n + lf........................................................244
U.7. Формула преобразования для сферических гармоник........................247
11.8. Многочлены Эрмнта — Кампе де Ферье .............................................^50
Глава 12
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
12.1. Введение..............................................................................253
12.2. Общие свойства ортогональных многочленов от двух переменных.............254
12.3. Дальнейшие свойства ортогональных многочленов от двух переменных............256
Ортогональные многочлены в треугольнике ...... . .. 258
12.4. Многочлены Аппел*....................................................................258
Ортогональные многочлены иа круге и шаре..................261
12.5. Многочлены V...............................................................261
12.6. Многочлены U..........................................................................264
12.7. Проблема разложения и дальнейшие исследования......................267
Многочлены Эрмнта от ыногих переменных..................269
12.8. Определение многочленов Эрчита .............................................269
12.9. Основные свойства многочленов Эрмнта..........................271
12.10. Дальнейшие исследования............................................................274
Цитированная литература....................................................277
Именной указатель................................................................289
Предметный указатель.................................290
Указатель важнейших обозначений.........................284 ГЛАВА 7 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ 7.1. Введение
Функции Бесселя являются, по-видимому, наиболее ча~то употребляемыми высшими трансцендентными функциями. Они чаще в.ею встречаются в связи с решением дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных, а также в связи с некоторыми определенными интегралами. Опишем кратко оба типа приложений, причем начнем с 'последнего.
В 1770 году Лагранж изучил эллиптические движения планет вокруг Солнца. Пусть а и b — большая и малая главные полуоси эллиптической орбиты, обозначим эксцентриситет эллипса через е = Vr а2— Ь2/а, и пусть г, М, E — соответственно радиус-вектор, главная аномалия н эксцентрическая аномалия Лагранж получил между этими величинами следующие соотношения:
M = Е — г slnfi, (I) '
/• «= я (1 — е cos ?) = -^-TjS-. (2)
at,
Они приводят к разложениям
СО OO
sin 2 An sln (л-М). cos E = B0 4- 2 ?a cos (пМ). (3)
п—\ л = 1
В 1819 году Бессель выразил коэффициенты этих разложений в виде интегралов. Например,
я
An = J cos E cos (пЕ — nt sin E) dE.
о
С помощью простого преобразования встречающийся здесь интеграл может быть выражен через коэффициеиты Бесселя (ср. 7.3(2) и рекуррентные соотношения 7.2(56)). Первое разложение (3) принимает при этом вид
OO
•,п?-т2ІГ8,п(йА<)Уя(л*)' <4)
л-1 10 ГЛ Т. ФУНКЦИИ БЕССИЛЯ. ТЕОРИЯ (7Л
а второе разложение (3) иожеі быть преобразовано к виду
OO
cos E--+ 2 2 TT C0S (,Ш) J» {ПЕ)- (5)
п»1
Позже, в 1824 году. Бессель положил интеграл 7.3 (2) в основу изучение функций, которые теперь носят его имя.
Функции Бесселя чаще всего встречаются в связи с дифференциальными уравнениями. В монументальном трактате Ватсона (Ватсон, 1949), который является основным трудом по функциям Бесселя, история этих функций прослежева вплоть до И. Керну л ли (около 1700 года). У Эйлера (1764) и Пуассона (1823) функции Бесссля обычно связывались с дифференциальными уравнениями в частных производных, возникавшими в теории потенциала, волнового движения и диффузии в цилиндрических или сферических полярных координатах. Однако иногда функции Бесселя встречаются в связи с другими дифференциальными уравнениями или системами координат
