Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
я K0 (г) = 2 [у + In (-J)] J0 (г)-2 ^ (-1)™ ( (т O-2Am, (33)
т= 0
где Am имеет то же значение, что и в (32). Следует отметить, что в силу (28) имеем
V M Hn, 1 Г ^ (*)cos (l»0-¦/-„(*)!
у-я (г) = Д"„ L-SMiISj-J-
= (-1 VtYnW. П-1. 2, 3, ... (34)
При таком определении Yn (г) иГ.,(г) и соответствующем определении функций Бесселя третьего рода все функции Бесселя являются целыми функциями от V.
7.2.5. Модифицированные функции Бессели целого порядив. Из (24) и (12) имеем
/-»(*) = /,.(*). л = 1. 2, 3,... (35)
Поэтому в качестве фундаментальной системы решений уравнения (11) мы выбираем In (г) и Kn (•*). где
(36)
Точно так же, как и в п. 7.2.4, получаем
*.«- (-»г '/„^in (?+1 s (~1г (J)2"""(я ,-1)1+
т=0
+ 2 uj wit(л-t-m)! ' n = 1. 2. З'— (37)
IttsO
В случае n — 0 имеем
KoW--/o(,).n(|)+|;(f)2m№+lI. (38)
Если доопределить функцию Ky (г) при целых значеннях v указанным образом, она становится целой функцией от v.
7.2.6. Сферические функции Бесселя. Функции Бесселя и модифицированные функции Бесселя сводятся к линейным комбинациям элементарных функций тогда и только тогда, когда v является половиной нечетного числа или, как мы будем кратко говорить, полуцелым числом (Ватсон, 1949, 4.7—4.75). Выразим К і (г) при п — 0, 1, 2,... через элементарные функ-
ции. Соответствующие выражение для других функций Бесселя следуют 18 гл. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ 17.7.3
из (16), (17), (7) и (8) и приведены в п 7.11. Если и= 0, 1, 2, ... и у = = и+ "2' то из 7.3 (16) вытекает
Vw-/^ Яг J-
(39)
о
\Л
Но биномиальное разложение (l -j- ) состоит из конечного числа членов, а потому мы получаем выражение для К і (г) в виде конечной суммы;
К , (*)- л/ е~г V п=Гт r"Hm + '> «+Iі ' У 2г ' JU (-г) ml Г (я +1-Я,)'
(40)
Используя символ Ганкеля
-2т
(V, т) = -^j- — 1) (4у; ~ ... [4v2 — (2m - 1)*]) =
m 1 (j 1-v — m)
(см. 1.20 (3)), можно переписать это равенство в виде
я
(41)
9 т-0
В частности, при л «=» 0 имеем
(42)
2
Из (42), см. также 7.11 (22), получаем представление
«„.«-н/
(43)
Для других типов функций Бесселя см формулы 7.11 (1)-7 11 (13).
Функции Бесселя полуцелого порядка часто встречаются в связи с теорией сферических волн В этом контексте обычно используют обозначения ^оммерфельда _
*т (*> - l/ "J" J . (г>- <44>
Т Ot+-
ca'w-i/s- "Л) «(45) 7.2.4' 7.8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВЕССЕЛЯ 19
Иногда через ^m (г) обозначают несколько отличную функцию (Ватсон, 1949, 3.41). Относительно одного класса многочленов, связанных со сферическими функциями Бесселя см. Krall-Frlnk (1949) и BurchnalI (1951).
7.2.7. Произведения функций Бесселя. Для того чтобы получить выражение произведения Jil (аг) Jv двух функций Бесселя в виде степенного ряда по возрастающим степеням г, используем равенство (2) н правило Коши для умножения степенных рядов. Коэффициент при
имеет вид
л2я
(Р/аГ
Ы. п\Г (v + n+l)(m — п)!Г(ц + т — п + 1) ' п = O
С помощью формул 1.2 (3), 1.20 (5), 2.1 (2) это выражение может быть представлено в виде конечного гипергеометрического ряда, что приводит к выражению
T(V-H)A- (Р*)Л» («*)-
OO
/о* V7_??\v V * 2 '
= [ 2 ) I 2 } U т!Г(ц + «-
я I Г Oi + «. + 1) ^ ' -I1 —: v +l: Ю
При ? = а это разложение упрощается, поскольку тогда гипергеометрический ряд может быть просуммирован, по формуле Гаусса 2.1 (14), так что
/ , \ v+n+ 2т
» (-^"(г) r(v + |x + 2m + l)
Jyl (г) J11(Z)= 2j m!r(n + m + l)r(v-|-m + l)r(v-b!* + w + l)' (48)
m» О
Используя обозначения для обобщенных гипергеометрических рядов, получаем
l+l±±; 1 + v, 1 + ,, l+v + K —(49) Из (48) легко вытекает разложение
v Vn ^k «ir(2v + «+l) •
' в = о 20 гл. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ 17.7.3
7.2.8. Различные результаты. Укажем формулы дифференцирования и рекуррентные соотношения. Из (2) получаем, что
^i>m (4)
J__.V, (50)
AI = O
(_ >2m+v-l
¦Л-^ V^ll-Ж ^(CT-1)!r(L + v4-l)°—^
me 1
Следовательно, путем повторного дифференцирования получаем
(~ЛгТ {z)l - ^-myV-" <*>• (52)
Ы&Т = (*). «-1, 2, 3,... (53)
Из равенств (50) и (51) следует, что
z J1v (z)+ V Jv(Z) = ZJv^(Z), (54)
z J'v (*)-v7v(*)--*./v+I(*) (55)
и поюму
Л -1 (*) + ^v+1 (*) = 2vz- Vv (г), (56)
Vi W --Vn W-2^ (*>• (57>
В силу (4), (5), (6) эти соотношения справедливы и для функций Бесселя второго и третьего рода. Соотношения (12), (13) и полученные ранее результаты дают аналогичные формулы для модифицированной функции Бесселя. Относительно этих формул см. 7.11.
Из рекуррентных соотношений вытекает следующее неравенство (Szisz, 1950):
Vv Ml' — jV-і (*) -Л>+1 (¦*) > (v + U"1 [Л (*)!'. * > 0. * — вещественное.
Вронскиан. Определитель Вронского W двух решений ю, и юа уравнении (1) ранен постоянному числу, умноженному на ехр?— J* z~1 dzj:
W w2j ^W1W12 — W2W[ = Cz~l. (58)
Для вычисления постоянной С достаточно использовать первые члены полу-ченных выше разложений решений н ряды. Если положить W1»Jv (г), Wi— /_v (*), получаем из ряда (2), что
