Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
fifiр X
поскольку мы предположили, что п приблизительно равно je, то ф — малая величина, и в окрестности стационарной точки можно заменить slnq> на <Р3 f
9—Таким образом,
1 Л OO
п Ja(X) ~ J cos — <-« — «)ф] ^ J cos[-f- — (* —
о о
В зависимости от того имеем ли мы х < п или х >п, этот интеграл является интегралом Эйри вида 7.3 (39) или 7.3 (40), что приводит к требуемым результатам (30), (31)
Этот метод вывода формул Никольсона является спорным Кроме того, область, в которой справедливы ати формулы, и порядок величины ошибки 38 гл. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ 17.7.3
ие могут быть определены (строгую теорию метода стационарной фазы дал Ван дер Корпут (Van der Corput, 1934, 1936). Быоил (J. Bljl, 1937) применил этот метод для того, чтобы получить асимптотические разложения функций Бесселя.
Формулы Ватсона. Более точная форма для формул Никольсона была дана батсоном (1949, стр. 276):
(я
в
' V .4 " і V Я - / I _
3
3
Здесь порядок р межет не быть целым числом, и мы имеем
у:
fr-1. (35)
где arg да 0 при X > р н arg w = при х < р. Соответствующие формулы для Jp(X) и Yp(x) перечислены в 7.13(28)-7.13(31). В случае, если X приблизительно равно р, w может быть заменено на У 2(х — р)/р
(argУх — р равно 0 илн при х > р или х <р соответственно^. Отсюда
получаются формулы Никольсона (30), (31).
Используя свое асимптотическое разложение, Шёбе (Schobe, 1948) получил следующий результат (см. конец п. 7.13.2):
tя
^Hf(X).
-4(i)*(WPT[•№+IferiM4). <*>
3
$=| YWzrWfr
и arg V (je — р)* равен 0 или в зависимости от того, имеем ли мы
JC > P ИЛИ X < р.
Другая формула дана Trlcoml (1949). Его результат имеет вид
V т<)-
- J^y A1 (f) —^[«Ч' (t) + VA1 (0] + О Ч. (87)
hm-
- Ai (*) + ^ [3/г^(0 + »Л(0]+О (38)
я Yp 7.3.7] 7.4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
39
Здесь A1 (0 и Л2 (0 обозначают функции
(см. интеграл Эйри 7.3 (40)).
7.4.4. Равномерные асимптотические разложения. Методы, связанные с дифференциальным уравнением. Рассмотренные выше асимптотические формулы были получены с помощью интегральных представлений для функций Бесселя, в основном с помощью представлений Зоммерфельда (см. п. 7.3.5). Другой метод вывода этих разложений основан иа дифференциальном уравнении Бесселя.
Мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением случая, когда как порядок р, так и аргумент х являются положительными числами. Преобразуем уравнение Бесселя 7.2(1) с помощью подстановки х =» ре1. В результате получим уравнение
w"(y) + f? (е2у -1) да (у) - 0. (41)
Асимптотическое поведение решений дифференциального уравнения вида
да' (у) + [р*Ф* (у)-К (у)] w (у) - 0, (42)
в котором р явлиется большим параметром, изучалось многими авторами (Horn, 1899; Schlesinger, 1907; Birkhoff, 1908; Blumenthal, 1912; Jeffreys, 1925; Jordan, 1930). Основным принципом этих исследований было то, что мало отличающиеся друг от друга дифференциальные уравнения должны иметь мало отличающиеся решения. Первоначально для сравнения брались уравнения с постоянным значением Ф. Все эти методы теряют силу в области, где Ф (у) имеет нули. В случае уравнения Бесселя это происходит в окрестности точек у=0и ли ¦*"=/>
Лангер (Langer, 1931, 1932, 1934) использовал для сравнения уравнение, в котором Ф(у) является, по существу, соответствующей степенью у. Это позволило справиться с трудностями, связанными с нулями <X>s(y). Решение уравнения, использованного Лаигером для сравнения, может быть выражено через функции Бесселя порядка 1/3. Применение результатов Лангера к уравнению (28) приводит к следующей асимптотической формуле, которая справедлива равномерно в 0 < х < со (Langer, 1931, стр. 60, ol):
^Hf W - Hf 0>*.-parctg„) + (43)
1
' -.fx* Г
При X > р arg V и arg (« — arctg да) положены равными нулю: при х < р
arg® равен а arg (да — arctg да) равен -у-. (Результаты для Jp(X)
и Yp (*) перечислены в формулах 7.13 (32) — 7.13 (35).) Относительно сравнения числовых значений Jp(X) со значениями, получаемыми по формуле Лангера (43), см. Фок (1934), а относительно распространения формулы (43) на комплексные значения р и х см. Langer (1932). 40 ГЛ. Т. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ [7.4.4
В случае, когда w достаточно мало (то есть х приблизительно равно р),
W3 ,
в» —arctgw можно заменить на ; при этом получается формула Ват-соиа (34).
MefdA «приблизительно совпадающего» дифференциального уравнения был также использован Черри (Cherry 1949, стр. 121) для получения равномерных асимптотических разложении функций Бесселя. Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция
VyJpia VT=T2X
имеет вид
-0-+ » [-P1 + (У8-1) (І У-* -J У~г+ ** - J8)] (44)
где
« = Art у — у. (45)
В окрестности течки у ~ 0 коэффициенты для w в (44) имеют разложении вида ^
-p'+^-H^-p'-i) (ЗкР + P W.
где P означает степенной ряд. Таким образом, уравнение (4) близко к уравнению
-^+^(-''+ж"-')«0- (46)
Но в силу формул 72 (62) и 72 (63) решением уравнения (46) явлиется
W-Z^Tk1 (ри). (47)
