Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
(14)
Rev>—y, Rez >0.
Следовательно, используя формулы 7.2 (13), 72 (12) и 7.2 (14), получаем, что
OO j
Г (v + I) Kv (г) - т (-Jjv J U2 - Dv" dt, Re V > - I Re г > 0.
,Полагая t — 1 выводим отсюда
__°° j J
+ i + ipu.
(15)
(16)
или, в более общем виде,
Ж
|argz| <я, Re у > — ,
00«'" 1 1 г (v + Kv (Z) - IJ е-'Г1 (l + dt, (17)
о
1 я
Rev>— -j, |6| < o — я < arg z < o -(- я.
7Д5. Интегралы Зоммерфельда. Вычислим j *'*C0STe 4 2' dx
вдоль контуров С|^от —-J-I-Zoo до^ — Zooj и cs ^ot-j—Zoo до-^-|- / ooj,
состоящих иа лучей и прямолинейных отрезков (рис. 4). Мы получим, в силу (9), (10)77.2 (5) н 7.2 (6), что 7
я H^ (z) = J еи cos т/* dx, (18)
Cl
<v (х —^
*//?><*)- f 2 >4%. (19)
«і28 гл. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ 17.7.3
причем оба интеграла справа сходятся при Re г > 0. Контур C1 может быть заменен контуром C1 от — т| —f— /"catr> доті — /сю, где t)—соответствующее число между 0 и л. Положим
Ф =arg г, a =Ret, ? = Imt, T = <z + /?.
Легко проверить, что при больших значениях ? Re (lz cos ?) асимптотически равно—I z I ch ? sin (Ф =F а). Верхний и нижний знаки соответствуют значениям ?^O. Таким образом, подынтегральная функция в выражении (18)
Рис. 4.
экспоненциально стремится к нулю, если т->оо в заштрихованной части т-плоскости. При замене Ci иа C1 мы выбираем для Ф один из интервалов
— 1)<Ф<у или —J<Ф<я—т) в зависимости от того, будет ли О < т) < J ми J < t) < я соответственно. Таким образом, имеем
'V (т
si Н*> (z) - J в1' cos xt V ^"'-dx (20)
C1
к аналогично
j /__ЯД
я H®(z)= f etzwxeV^ 2,dx, (21)
Cs
где Ci—контур, идущий из ті — /со в 2я — t| + ioo. Интегралы сходятся при
— Tj < Ф— arg* < я — т), 0<т)<я. (22)
В силу теории аналитического продолжения эти неравенства определяют обметь, в которой справедливы формулы (20) и (21).ТАЗІ 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 29
Из этих результатов вытекает в силу 72 (7), что
Г ,
2*yv(*) = J V 2/dT,
с,
— TJ < argЛГ < Jt-t|, 0< t)<я,
где C3— контур, идущий из —ч + /оо в 2я —ij + ioa Очеиь часто используются интегралы
OO+ In
(23)
я Hf(z)~—tJ e**ha~vada, (24)
— 00 оо -In
я Hf (г) _ , J ^ »he-vorfe (25)
— 00
00+ In
2п Jv (г) - — / J Ijsk4-wIta, (26)
справедливые, если [arg? | <-j. Они легко выводятся из равенств (20),
(21) и (23) соответственно, если положить в них «|»|» сделать подста-
я і , новку т »-j + la.
Частные случаи. Положим і|яОивыберем в качестве контуров Ct и C9 контуры, состоящие из OIftoucOB прямых. Мы получим тогда выражения Гейне
_іуя »
Я Н$>(г) — 1е~ 2 J е1*Л1е~*dt, О < arg * < я, (27)
Ivn Г оо Я
я Hf (*) - 2|Л~ І Г chrChL(^-Zw) dt —і Je-'* cottCQS (vf) dt
, (28)
О < arg г < я.
Если положить і)»я и выбрать контуры Ci, Cp состоящими из отрезков прямых, получим
ІУЯ Г OO Я
' JIhf (г)-—2іе Г J J"<Г,же,І'«Іі(у* + Лда)Л + і «'»»*' cos (vf) dt ,
—n<argr<Q, (29)
Iw OO
KHf(Z) = U 2 JV" cble-"'dt, — я < arg г < О, (ЗО)ЗО ГЛ 7. ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ |7Ав
Из (27) и (30), используя 12 (T), полу чае и соответственно
,,-Vf-Hzchf,
ІУЯ Г Я OO
я /v (z) е 2 I Je~lz COS (Vt) dt — sin (vn) Г в LO о
ЬЯ OO
" 0,8' cos (vf) Л — sin (vn) f e-v'-tz ch' dt
dt , (31) O < arg г < я,
Ivn Г Я OO
я Zv (г) = « ' 2 I f,?iz c08tCOS(vf) л —Sln(Vn) [е-™-исп' dt , (32)
—n<arg2<a Положим в формуле (27) Мы получим тогда
_ *va «Р tefr+a'/t»)
пНМ (аг) = — fe ravj в 2 t>-v_1 dt>, Im г > 0, Im (a'z) > 0. (33)
о
7.3.6. Интегралы Бернса. Представление функции Бесселя первого рода в виде интеграла Меллина — Бернса (см. 1.19) имеет вод
c+iOO г /у + а\
4яUv(X)=. Г (I)"' , ' I as, х>0, — ReV<с< 1. (34)
e—i OO
Оио может быть получено путем вычисления интеграла с помощью вычетов подынтегральной функции или применения формулы обращения Меллнна к 7.7 (19).
Если снять ограничение — Re v < е < 1, то интеграл сохранит смысл, но уже не будет представлять функцию Бесселя. Положим
TtГЖ
«/«W- J (J) ,J-V'' (3? Л» Г11+-г-)
* > 0, ог< 1, — 2т — Rev<a< — (2т — 1) — Rev, /и=-I, 2,....
где интеграл взят вдоль прямой, параллельной мнимой оси. Выражая интеграл через вычеты подынтегральной функции, получаем
¦ <*> ~ А, (*) - ' ? л1 г (v + л-ЦГ
я=о
Определим ДЛЯ любых комплексных значевий Z HV
/ г ч v+2/i
V (-1Ht)
•»я7.3.7] 7.4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 31
и назовем эту функцию остатком функции Ьесселя первого рода. Из (33) имеем
-Jf Uv Jy,. т (*>] - -.. т (*> (37)
¦37V А. • <*)! - - 'v V. т <*)• (38) 7Л.7. Интегралы Эйри. Формулы Эйри
OO _
J COS (Iі + 3tx) dt = J К% (2 KF), дг > о, (39)
OO
J
eos (/»_3/л:) rf/ - - -J KI [Л, (2(К**) + (2 /F)], * > 0. (40)
о
могут быть доказаны следующим образом. Сделаем в (39) подстановку
і mi 2 К* sjlTr- Так как о
4 8ha + 3 sh « sh г,
то получим
OO со
Г cos(/» + 3fjr)<tt«?^- J cos ^KFshr) Ch о о
Применяя 7.12(25), выводим отсюда (39).
Для того чтобы доказать (40), разложим правую часть равенства (39) в степенной ряд (см. 7.2(12) и 7.2(13)). Мы получим