Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтман Г. -> "Высшие трансцендентные функции. Том 2" -> 9

Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.

Бейтман Г. , Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Том 2 — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietransfunkciit21974.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 91 >> Следующая

(14)

Rev>—y, Rez >0.

Следовательно, используя формулы 7.2 (13), 72 (12) и 7.2 (14), получаем, что

OO j

Г (v + I) Kv (г) - т (-Jjv J U2 - Dv" dt, Re V > - I Re г > 0.

,Полагая t — 1 выводим отсюда

__°° j J

+ i + ipu.

(15)

(16)

или, в более общем виде,

Ж

|argz| <я, Re у > — ,

00«'" 1 1 г (v + Kv (Z) - IJ е-'Г1 (l + dt, (17)

о

1 я

Rev>— -j, |6| < o — я < arg z < o -(- я.

7Д5. Интегралы Зоммерфельда. Вычислим j *'*C0STe 4 2' dx

вдоль контуров С|^от —-J-I-Zoo до^ — Zooj и cs ^ot-j—Zoo до-^-|- / ooj,

состоящих иа лучей и прямолинейных отрезков (рис. 4). Мы получим, в силу (9), (10)77.2 (5) н 7.2 (6), что 7

я H^ (z) = J еи cos т/* dx, (18)

Cl

<v (х —^

*//?><*)- f 2 >4%. (19)

«і 28 гл. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ 17.7.3

причем оба интеграла справа сходятся при Re г > 0. Контур C1 может быть заменен контуром C1 от — т| —f— /"catr> доті — /сю, где t)—соответствующее число между 0 и л. Положим

Ф =arg г, a =Ret, ? = Imt, T = <z + /?.

Легко проверить, что при больших значениях ? Re (lz cos ?) асимптотически равно—I z I ch ? sin (Ф =F а). Верхний и нижний знаки соответствуют значениям ?^O. Таким образом, подынтегральная функция в выражении (18)

Рис. 4.

экспоненциально стремится к нулю, если т->оо в заштрихованной части т-плоскости. При замене Ci иа C1 мы выбираем для Ф один из интервалов

— 1)<Ф<у или —J<Ф<я—т) в зависимости от того, будет ли О < т) < J ми J < t) < я соответственно. Таким образом, имеем

'V (т

si Н*> (z) - J в1' cos xt V ^"'-dx (20)

C1

к аналогично

j /__ЯД

я H®(z)= f etzwxeV^ 2,dx, (21)

Cs

где Ci—контур, идущий из ті — /со в 2я — t| + ioo. Интегралы сходятся при

— Tj < Ф— arg* < я — т), 0<т)<я. (22)

В силу теории аналитического продолжения эти неравенства определяют обметь, в которой справедливы формулы (20) и (21). ТАЗІ 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 29

Из этих результатов вытекает в силу 72 (7), что

Г ,

2*yv(*) = J V 2/dT,

с,

— TJ < argЛГ < Jt-t|, 0< t)<я,

где C3— контур, идущий из —ч + /оо в 2я —ij + ioa Очеиь часто используются интегралы

OO+ In

(23)

я Hf(z)~—tJ e**ha~vada, (24)

— 00 оо -In

я Hf (г) _ , J ^ »he-vorfe (25)

— 00

00+ In

2п Jv (г) - — / J Ijsk4-wIta, (26)

справедливые, если [arg? | <-j. Они легко выводятся из равенств (20),

(21) и (23) соответственно, если положить в них «|»|» сделать подста-

я і , новку т »-j + la.

Частные случаи. Положим і|яОивыберем в качестве контуров Ct и C9 контуры, состоящие из OIftoucOB прямых. Мы получим тогда выражения Гейне

_іуя »

Я Н$>(г) — 1е~ 2 J е1*Л1е~*dt, О < arg * < я, (27)

Ivn Г оо Я

я Hf (*) - 2|Л~ І Г chrChL(^-Zw) dt —і Je-'* cottCQS (vf) dt

, (28)

О < arg г < я.

Если положить і)»я и выбрать контуры Ci, Cp состоящими из отрезков прямых, получим

ІУЯ Г OO Я

' JIhf (г)-—2іе Г J J"<Г,же,І'«Іі(у* + Лда)Л + і «'»»*' cos (vf) dt ,

—n<argr<Q, (29)

Iw OO

KHf(Z) = U 2 JV" cble-"'dt, — я < arg г < О, (ЗО) ЗО ГЛ 7. ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ |7Ав

Из (27) и (30), используя 12 (T), полу чае и соответственно

,,-Vf-Hzchf,

ІУЯ Г Я OO

я /v (z) е 2 I Je~lz COS (Vt) dt — sin (vn) Г в LO о

ЬЯ OO

" 0,8' cos (vf) Л — sin (vn) f e-v'-tz ch' dt

dt , (31) O < arg г < я,

Ivn Г Я OO

я Zv (г) = « ' 2 I f,?iz c08tCOS(vf) л —Sln(Vn) [е-™-исп' dt , (32)

—n<arg2<a Положим в формуле (27) Мы получим тогда

_ *va «Р tefr+a'/t»)

пНМ (аг) = — fe ravj в 2 t>-v_1 dt>, Im г > 0, Im (a'z) > 0. (33)

о

7.3.6. Интегралы Бернса. Представление функции Бесселя первого рода в виде интеграла Меллина — Бернса (см. 1.19) имеет вод

c+iOO г /у + а\

4яUv(X)=. Г (I)"' , ' I as, х>0, — ReV<с< 1. (34)

e—i OO

Оио может быть получено путем вычисления интеграла с помощью вычетов подынтегральной функции или применения формулы обращения Меллнна к 7.7 (19).

Если снять ограничение — Re v < е < 1, то интеграл сохранит смысл, но уже не будет представлять функцию Бесселя. Положим

TtГЖ

«/«W- J (J) ,J-V'' (3? Л» Г11+-г-)

* > 0, ог< 1, — 2т — Rev<a< — (2т — 1) — Rev, /и=-I, 2,....

где интеграл взят вдоль прямой, параллельной мнимой оси. Выражая интеграл через вычеты подынтегральной функции, получаем

¦ <*> ~ А, (*) - ' ? л1 г (v + л-ЦГ

я=о

Определим ДЛЯ любых комплексных значевий Z HV

/ г ч v+2/i

V (-1Ht)

•»я 7.3.7] 7.4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 31

и назовем эту функцию остатком функции Ьесселя первого рода. Из (33) имеем

-Jf Uv Jy,. т (*>] - -.. т (*> (37)

¦37V А. • <*)! - - 'v V. т <*)• (38) 7Л.7. Интегралы Эйри. Формулы Эйри

OO _

J COS (Iі + 3tx) dt = J К% (2 KF), дг > о, (39)

OO

J

eos (/»_3/л:) rf/ - - -J KI [Л, (2(К**) + (2 /F)], * > 0. (40)

о

могут быть доказаны следующим образом. Сделаем в (39) подстановку

і mi 2 К* sjlTr- Так как о

4 8ha + 3 sh « sh г,

то получим

OO со

Г cos(/» + 3fjr)<tt«?^- J cos ^KFshr) Ch о о

Применяя 7.12(25), выводим отсюда (39).

Для того чтобы доказать (40), разложим правую часть равенства (39) в степенной ряд (см. 7.2(12) и 7.2(13)). Мы получим
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed