Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть х, у, г — декартовы координаты, р, <р, г — цилиндрические координаты и г, 6, ф — сферические полярные координаты, определяемые соответственно равенствами
ж а* р cos ф, у =• р sin ф, г яш г, (6)
Х**Г 8ІП0СО»ф, у -» г sin tfsin ф, z^r cos 9. (7) В этих координатах мы имеем
ЬР - Fn + fyy+P« - ^pp +P-1^p + Р-Пф + /7«, (8)
KK JT I.) 1 1 U I fW /Qv
А/"+ ;-+-pr +c.go+ -^wjr. (9)
Если искать решение волнового уравнения А/1 -(- ItiF = Ob виде / (р) g (ф) А (*) или f (г) g (0) h (ф), то получим соответственно обыкновенные дифференциальные уравнения относительно f:
(И)
в которых а в V — константы, возникшие при разделении переменных Общие решения этих уравнений имеют соответственно вид
/(р) - Zv (р VW^tf), (12)
/(') Z l (Ar), (I3)
где Zv обозначает функцию Бесселя или линейную комбинацию с постоянными коэффициентами функций Ьесселя порядка v.
Волновое уравнение и его решение в различных системах координат могут быть использованы для получения эвристических результатов в теории функций Ьесселя (Weyrich, 1937) Сферические волны частоты v с длиной 7.11 T.I. ВВЕДЕНИЕ И
2я
волны Л и волновым числом А = исходящие из источника (g, т), ?), могут быть записаны с помощью волновой функции
г-1.-<2яу<+г«г
где R — расстояние между точками т|, ?) и (х, у, г). Вели ось г равномерно покрыта источниками, находящимися в одной и той же фазе, то результирующее волновое движение может быть представлено в виде суперпозиции колебаний:
где р* =• л? + у*. В силу принципа Гюйгенса эта функция представляет цилиндрическую волиу. Если положить J — г -J- р sh т, то равенство (14) можно записать в виде
OO
и ^e-Unvt J el*e Chtrft (15)
— оо
Это приводит к интегральному представлению Зоммерфельда для функций Бесселя третьего рода.
* Обозначения В этой главе мы будем придерживаться обозначений, использованиях в трактате Ватсоиа (Ватсон, 1949). Отметим некоторые обозначения, которые встречаются в литературе, но которые не будут здесь использоваться.
В книге Грей — Метьюз (1953, стр. 36 и 32 соответственно) введены функции Fv (г) и Gv (г) с помощью равенств
(г) = ^^(2/? (16)
Ov (z)=±iKffW(z). (17)
Яике, Эмде, Лёш (1964, стр. 182) полагают
Av (г) - Г (у +1) /v (г). (18)
В книге Уиттекера — Ватсона (1963, стр. 214) модифицированная функция Ганкеля К<»(г) определяется равенством
K4 (z) = j |/-v (г) - Zv (г)] ctg (уя). (19)
Это отличается от наших обозначений, см. 7.2 (13).
С функцией Нейраиа Kv (г) (см. 7.2(4)) тесно связана функция Vv (г) (Ватсои, 1949, стр. 71), ее обозначают также Kv (г) (Грей — Метьюз, 1953, стр. 34):
Yv(*)=yv(*) = *Kv(*)T^. (20)
Относительно других обозначений функций, связанных с функциями Бесселя, см. п. 7.5.6. 12 ГЛ. Т. ФУНКЦИИ БЁССЕЛЯ ТЕОРИЯ PAI
7.2. Днфференциальное уравнение Бесселя
7.2.1. Фувкцнн Бесселя произвольного порядка. Функции Бесселя являются решениями дифференциального уравнения Бесселя
'?(-?)+*"'-*-а>
Вообще говоря, V и г могут быть любыми числами, но сейчас мы будем предполагать, что v не является целым числом (относительно целых значений V см. п. 7.2.4). Дифференциальное уравнение (1) является предельным случаем гипергеометрического дифференциального уравнения (см. Klein, 1933, стр. 156). Оно имеет регулярную особую точку при г = 0 и нерегулярную особую точку при г = со. Все остальные точки являются для дифференциального уравнения обыкновенными. Обычный метод получения решения линейного дифференциального уравнения в окрестности регулярной особой точки (Уиттекер — Ватсон, 1961, 10.3) приводит к решениям
/ \2m+v
» (-Ir(I)
ЛW - 2d mir(m-fv-t-l) (2)
т=0
и J-v (г). Первое решение Jv (г) называют функцией Бесселя первого рода; г — независимое переменное, v — порядок функции Бесселя. Легко видеть, что ряд для z~yJv (г) сходится абсолютно и равномерно в любой ограниченной области изменения г и v. Равенство (2) может быть записано с помощью соотношений Куммера 6.3(7) в виде
(3)
Линейные комбивации
Y*(г) = IiirW Уу (г) C0S (УЯ) ~ J~v (г)1, (4)
(*> - Jy W +1 ^v « = 7UKv (*> - -/v W Ш]. (5)
я<2) (*) = Jy <*> - і Yv (г) - -^i- [Jv (г) е1™ - J_ у (*)] (6)
также являются решениями дифференциального уравнения (1); Kv называют функцией Бесселя второго рода или функцией Неймана, H^ и Я® являются функциями Бесселя третьего рода (нх называют также первой и второй пункциями Ганкеля). Из (5) и (6) имеем
<8) Т.21 ГА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕССВЛЯ 13
Из определения непосредственно вытекает, что
Н% (г) =. вш H^ (г), Н% (*) = e~l™ Hf (г). (9)
Мы будем обозначать через г (соответственно 7) число, комплексно сопряженное с z (соответственно v) В этих обозначениях имеем
H^ (г) = (г), Я® (*) = /*?> (F).
(10)
В частности, если порядок v является вещественным числом, а независимое переменное z положительно, то функции Jy, и Yy, принимают вещественные значения Все четыре функции Бесселя однозначны в плоскости г, разрезанной вдоль отрицательной полуоси от 0 до —оо. Если v не является целым числом, то они имеют точку ветвления при 2=>0. Функция Бесселя первого рода является, очевидно, целой функцией от v. Ниже будет показано, что при соответствующем определении для целых значений v»»п функции Бесселя второго и третьего рода также являются целыми функциями от v.
