Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
1
Поэтому, если записать уравнение (44) в ииде
+ ^«-')-»/(«), (48)
где
/ (и) - - (у~* -1) (4 у-*- J у-» + а»- V«), (49)
то мы можем подставить в правую часть уравнения (48) вместо ч выражение (47). Продолжая далее этот процесс последовательных приближений и применяя метод вариации произвольных постоянных, получаем решение уравнения (48). Дальнейшие результаты можно найти у Черри (Cherry, 1949, 1950).
7.5. Функции, связанные с функциями Бесселя
С функциями Кесселя связаны некоторые многочлены и функции, которые либо подобны нм, либо обладают некоторыми похожими свойствами, либо, наконец, встречаются в исследованиях, относящихся к функциям Бесселя. Эти многочлены и функции подробно описаны в книге Ватсоиа (1949, гл. IX и X). Мы дадим здесь лишь краткий очерк основных свойств некоторых из 9тих функций. Более детальную информацию читатель найдет в книге Ватсоиа (1949). ТЛ4| 7.5. ФУНКЦИИ. СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ 42
7.5.1. Многочлены Неймана н связанные с ними многочлены. Многочлены Неймана On (г) определяются равенством
C-B"1-Se-^-O W-
я=о
во=1. «я = 2, если /»>1, 151 <U|. (1)
Они играют важную роль в теории разложения произвольной аналитической функции f \z) в ряды вида
/(Z) - ^aaJn(Z).
U=O
Для того чтобы получить яиное выражение для On (г), будем исходить из тождества
Л
(Z—?)-*-*-1 І в"в * dx, Re -Ь. < 1. (2)
г—ЕГ1 - в"1 J в"*в * dx, Re і-
Положим и равенстве 7.2(25) а ~ 1, заменим z на ? и t—на —Мы получим:
• ^- S [г-"(*+ КР+Р)" + (-г)"Of + У„ (5).
я«о
Подстаиим это разложение в равенстио (2) и заметим, что при 1 < 1
можно почленно проинтегрировать. Сравнив результат с (1), получаем интегральное представление Неймана
OO
On(Z) -1 ' J IU -I" VxrF^f +U- VrF+^)*] в-* dx _
о
оо«»
-у J [(/+кпр)"+<*_KTp5)*]»-"л.
(3)
где п > О и |o-t-aigz|<
Для того чюбы показать, что On (Z) является Многочленом от г~1, подставим
«. Lt Lzil.
в (3) и почленно проинтегрируем получившееся разложение Мы получим, что
-2т-1
тшО 42 гл. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ 17.7.3
или, после некоторых алгебраических преобразоиаиий,
<4 (?\2 т-п-1
mm о
В частности, имеем
O0 (г) O1 (z) — г~\ O2 (*) = *-'+4*-'. (7)
Очевидно, что On(z) является многочленом от ж-1 степени п-(-1 Из (6) иытекает следующее неравенство:
1 On (z) I < 2Л~ 1ZJl I г Г"-1ехр(-Цр-). (8)
Следовательно, используя 7.3 (4), получаем, что если ряд ^ а„
абсолютно сходится, то и ряд
2 a«J„<$>0„(*)
п—О
абсолютно сходится.
Из определения вытекают следующие соотношения:
O^(Z)--O1(Z), (9)
2 ??(4-0,^(4-0,^(*), п>1, (Ю) (л-1) On+, (z) + (я + 1) Оя_|(z)-2z~l (я2-1)On(Z) - 2л*-1 (sin ^)2, (11)
nzOn_x (z) - (па -1) On (г) = (n -1) г О; (г) + я (sin -^-)2 , (12)
« Оя+, (*) -<ns-1) 0„ (г)--(л + 1) г о; (г) + л (sin (13)
Из 9ТИХ соотношения следует, что On (г) удовлетиоряет дифференциальному уравнению
. d*v , „ dv . . , . . ,. / ля\2 . / , ля \а ^4*Зг-f- (гг +1 — n*)v — z^cos -j-j +n^sin-g-J. (14)
Еслв С яиляется простым замкнутым коитуром, охватыиающим начало координат, то из (6) и 7.2 (2) следует, что
J Om (z) On(Z) dz — 0, и— л н тфп, (1?
J Jm(Z)Oa(Z) dz- 0, л л, (M)
J Jm (Z) Om (z) dz -лі, т > L (17) ТЛ4| 7.5. ФУНКЦИИ. СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ 43
Для некоторых целей удобнее испельаовать многечлеиы Шлефли
S0(Z)-O, 5я(г) =^Cn-JB-IMiIL1-, я>1 (18)
т-0
(Ватсон, 1949, п. 9.3—9.34). Они сиязаиы с многочленами Неймана соотношением
п Sn (z) - 2z On (z)—2 (cos -у-)2. (19)
Многочлены Qa(z), определяемые разложением
OO
(«¦-бТ1 = S8" Iу» <*>],Q»<*). ISI <1*1 (20)
л=0
также были изучены Нейманом (Ватсон, 1949, п. 9.4 и 9.41).
Оба семейства многочленов Неймаиа были обобщены Гегенбауэрем (Ватсон, 1649, п. 9.2, 9.5). Эти обобщения определяются разложениями
QO
7^y = Sj4/,'v(2r)yv+e(or ItKM- (21)
я=0 оэ
-S=TeS n®J »(5)- (22)
6 ».о »+7 V+T
7А2. Многочлены Ломмеля. Повторно применяя рекуррентную формулу 7.2 (56), получаем, что Jv^m может быть выражено в виде
Л+т (*) = Л (*) Rm, V (*) --Zv-I (•г) Rm-u v+1W. (23)
где Rm, у является многочленом степени т от z~l; он называется многочленом Ломмеля. Аналогично имеем
(-1)» У-,-* (*) - /-V (*) Rm, V (*) +/-V-I W Rm-U v+1 <*)• (24) Из (23), (24) и 7.11 (33) вытекает, что
Jt 9
Am.V<«) = -гіїїгет-I7v+,B/_v+'(*)+(-ir/-v-*(*)/v-iWl- (25)
Используя степенной ряд 7.2 (48) для произведения двух функций Бесселя,
получаем из (25). после некоторых преобразований, формулу < —
ft I* = V (-1)я(т-п))Г(у + «-п) IZу-«+2» «я. V W = лі (м—2n)i г (v+п)— ItJ ~
л=0
-^Й^ЙГл(1Ti--Ts * -m' -*')¦ (26>
Из етой формулы иидно. что
Rm, V W = (-1)" Rm, -v-m+l (*)• (27) 44 гл. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ 17.7.3
Так как функции Бесселя второго рода удовлетворяют тому же самому рекуррентному соотношению 7.2 (56), что и Jv (г), получаем следующее соотношение, аналогичное соотношению (25):
Уу+т (*) = Yv (*) Rm, V (^) - К,-, (Z) /?„_,, v+l (Z). (28)
