Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
J '' Г + V -(-1)
-OO
-OO ЛІ «О
и, используя 12 (2), приходим к равенству (5).
2o»+v
(m + v+1) ' 24 гл. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ 17.7.3
Соответствующие контурные интегралы для других типов функций Бесселя могут быть получены с помощью формул 7.2 (4) — 7.2 (о) и формул 7.2 (12) и 7.2 (13). Относительно этого см. McLachlan и Meyers (1937).
Если Rev> — 1 и а — вещественное и положительное, то контур в формуле (5) может быть деформирован в прямую лииню, параллельную мнимой оси, что приводит к равенству
r+t ОС
2ni Jv (аг) = ^v J exp ^ ('-jJ-) ]'~v_1<tt, c,a> 0, Rev>-1 (6)
e—t OO
Представления Ганкеля. Обобщения интеграла Пуассона (3) были даны Гаикелем. Первое из них имеет вид
(1+, -1-) !
2л/ Jv (г) — -pL- Г (-і — vj (~jV J #«««-1 )"dt, (T)
где V-J- у не является отрицательным целым числом. Путем интегрирования
является восьмерка, изображеивая на рис. 1. Мы будем считать началом путв интегрирования точку пересечения восьмерки с положительной вещественной полуосью справа от t =¦ 1. В этой точке аргументы комплексных
Рис.* 1.
чисел t — 1 и '-)-1 считаются равными нулю. Для того чтобы доказать (7), заменим первоначальный контур контуром, стянутым к отрезку (—1, 1].
Если мы предположим, что Re (v -J- -jj > 0, и устремим радиусы окружностей с центрами в ±1 к нулю то получим U+.-1-) ! > 1
J вы (t* — \)~~ dt =» 21 cos (vn) J е*г* (1 — f*)V" dt, Re v > -
Если выразить интеграл в правой части по формуле 7.12 (7), то получим равенстио (7). В силу теории аналитического продолжевия ограничение
Re V > — -j может быть опущено, исключая случай, когда является
натуральным числом. »A4| IX ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Другое предстанление имеет вид
(-1+, 1+)
25
2nlJv (*)-_Lr(I + v)''3w(f)~V J eut (t* — 2 dt, (8)
OO
V+j =Sfc 0, — 1, — 2, o<arg<<2n + 6, — 6<arg*<n — б
(аналогичное выражение см. 7.8 (13)). Путь интегрирования изображен на рис. 2. В качестве начального и конечного значений arg / выбраны б и 2я -J-б Для того чтобы доказать (8), деформируем контур так, чтобы он лежал вне единичной окружности. Тогда
Г (-у+ v) (<»-!> V"2 -
(i + v+m)
-2v-2m-l
ml
m=0
Подставим это выражение в (8) и почленно проинтегрируем; из формулы 1.6 (6) при ге'1л12 получаем
(0+)
J4'
г1ч-гт-\вш dt.
2 niz2'v+2m e-'a«(v+«)
r(2v + 2m + l) '
t-Momcm Рис- 2.
— б < arg г < я —б. Таким образом,
Jv(Z):
1
Vh
V _ m(*\V+2m 22W+2Vr(} + v+CT)
\ 2 / m\T(2m +- 2v+l) '
m=0
Применяя формулу удвоения 1.2 (15) для гамма-функцин, приходим к равенству (8).
7.3.4. Интегральные представления Шлефлн, Гублера н связанные с ними представления. Из результатов п. 7.33 вытекает целый ряд представлений, имеющих вид определенных интегралов.
Представления Шлефлн. Переставим в (5) а и z, положим а = 1 и деформируем контур в путь, состоящий из луча отрицательной полуосн от — оо до —1 (arg t =*= — я), единичной окружности, охватывающей в положительном направлении начало координат (—я < arg г! < я), н луча отрицательной полуосн от —1 до — оо (arg t — я). В результате получим представление Шлефлн
H OD
я Jyl (Z) — j cos (z sin <р — v<p) d<t — sin (vn) J (2ib p+v^ rf?, Re г > 0.
(9) 26
ГЛ 7 ФУНКЦИИ BECCFJIfl ТРОРИЯ
I7.M
Оно справедливо н при Re г — 0 при условии, что Re v > U В случае, когда V —целое число, формула (9) сводится к формуле (2) Точно так же 72(4)
и (9) приводят к аналогичному вы-
I і
t
і і
V____J
ражен и ю для функции Неймана-л
я Kv (z) = J* sin (г sin / — v/) dt —
о
Xl
— Jievl + <ГV COS Wl) #"» sh ' dt,
t-плостсть Рис. 3.
Re г > 0 (10)
(первый ннгеграл в правой части равенств (9) и (10) ср. 7.5 (32)) Обобщения формул (9) и (10) дают формулы 7 12(17) и 7 12(18) Представления Гублера. Из (8) могут быть получены другие представления для Jv (г) путем специального выбора контура Положим я
6»ї и деформируем контур в линию, изображенную на рис. 3 пунктиром.
Если Re V <-j и радиусы Окружностей с центрами в точках ±1 стремятся к нулю, получаем, что
I
'(Н^-ад/«-*
CC
1
cos (zt—vn) dt—
-Sin(Vn) I (1 -H/*) ^e-*
, Re г > 0, Re у <
(11)
Эта формула соответствует интегралу Пуассоиа (3). Если заменить в (11) V иа —VH использовать равенства (3), а также 7.2(4), то получим соответствующее выражение для функций Неймана:
2
Vn
j" j* (і _ /»)V~T sin (zt) dt — j* e
~г'(1+/2)
dt
(12)
Rer>0, Rev>— -i.
(13)
Вводя в равенство (12) функцию Струве 7.5 (78), получаем
IH, M - к, м, г (. +1) - ? (J)' JV-' U + <Т* «
Re z > 0.
Пусть теперь в равенстве (8) б -»0, а путем интегрирования является ТАЗІ 7.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 27
Inft
пунктирная линия (рнс. 3). Заменим z на z е , a v на —v, и пусть Re V > Тогда можно устремить к нулю радиусы окружностей, охватывающих точки / = ± 1. Переходя к пределу, получаем
'•»-тИї-НтГ*
OO J X J
sin (2vji) J e~zt U2 — 1)V~T dt + cos (VJI) J ezt(\ — r2)V~ J a
X
і -i
