Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
где через Sn (х) снова обозначена п-я частичная сумма ряда (3). Этот тип сходимости (называемый иногда «поточечной сходимостью») налагает гораздо более строгие ограничения на функцию / (х), чем сходимость в I^,.
Rau (1950) изучил сходимость разложений функции / (л) в ряд по многочленам Якоби, таким, что а > — 1, ? > — 1. Он доказал, что функция / (х) непрерывна и имеет кусочно непрерывную производную, если разложение равномерно сходится к f (х) на любом отрезке вида — 1 1 — е,
е > 0.
Caton и Hille (1945) с помощью интеграла Лапласа изучили суммируемость по Абелю рядов по многочленам Лагерра.
Асимптотические формулы, такие, как 10 14(1), 10.14(7), 10.14(10) и 10.15(1), 10.15(18), позволяют установить связь между сходимостью ортогональных разложений и сходимостью некоторых связанных с ними рядов Фурье. Это является предметом так называемых теорем равносходимости. В качестве примера приведем теорему равчосходимости для многочленов Лежандра (Haar, 1918). Она формулируется следующим образом:
Пусть функция I / (х) I2 интегрируема па отрезке [— 1, 1], и пусть s„(x) является n-Yi частичной суммой разложения / (х) по многочленам Лежандра, а огп (6) — л-й частичной суммой разложения функции / (cos 9) в ряд Фурье по косинусам кратных дуг. Тогда имеет место соотношение
Такие теоремы равносходимости в сочетании с условиями сходимости рядов Фурье позволяют исследовать сходимость ортогональных разложений теоремы равносходимости для многочленов Якоби, Лагерра и Эрмита даны Сеге (1962, гл. IX). Сеге принадлежат также некоторые результаты, касающиеся поведения таких рядов в конечных точках основных промежутков.
Рассмотрим теперь разложения аналитических функций. Областью сходимости рядов по многочленам Якоби являются эллипсы с фокусами в точках ± 1. Любая функция, аналитическая внутри такого эллипса, может быть разложена в нем в ряд по многочленам Якоби (а, ? > —1). Если функция апалитична вне такого эллипса и обращается в нуль на бесконечности, то ее можно разложить в этой области в ряд по функциям Якоби второго рода
0я' й (а' P > — !) (см- Сеге> 1962> п- 9-2)-
В случае многочленов Лагерра область сходимости ограничена параболой, симметричной относительно вещественной осн, с фокусом в начале координат и обращенной вершиной влево. В случае многочленов Эрмита областью сходимости является полоса, симметричная относительно веще-
(8)
Sn (х) -> / (х) при п -» оо,
Sn (cos б) — а„ (8) ->0 при л-»со, 0 < 9 < я. ДООІ 10.20. ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИИ 211
ственной оси. В обоих случаях область сходимости ие ограничена. Поэтому для того, чтобы функцию можно было разложить в ряд по многочленам Лагерра или Эрмита, она, кроме условия аналитичности в соответствующей области, должна удовлетворять некоторым условиям на рост в бесконечности. Разложение в ряды по многочленам Лагерра изучал Pollard (1947а), а в ряды по многочленам Эрмита — Oiullotto (1939) и Hille (1939, 1939а, 1940).
10.20. Примеры разложений
В этом пункте мы перечислим некоторые ряды по ортогональным многочленам, суммы которых могут быть даны в замкнутой форме. Число известных в настоящее время таких рядов невелико, за исключением рядов по многочленам Лежандра, Эрмита в Лагерра Многие из рядов, приведенных здесь, были вычислены Трикоми. Вычисление коэффициентов таких разложений основывается иа формуле 10.19 (2). При этом для того, чтобы упростить полученный интеграл, часто используется формула Родрига (или ее обобщевне) с последующим интегрированием по частям (ср. второй абзац п. 10.7).
В следующих ниже формулах мы будем часто использовать внеденные в гл. 6, 8, 9 обозначения для вырожденной гнпергеометрнческой функции и некоторых связанных с ней функций.
Ряды по многочленам Якоб и. Обозначения п. 10.8. Мы предполагаем всюду, что а, ? > — 1, a hn определено равенством 10.8(4).
a-l 8десь
sgn A = C0 + Pf^ О+» (0) Pp й (х), -1 < X < 1. (1)
I 1 при *>0, - Д
1—1 при X < О ¦
1
Со - Г(а+ЦГ(Р + 1) 2^"0"1 J" [(1 - *)я (1 + *)?-(l + (l-*)?l dx.
Заметим, что в разложение (1) на самем дме входят лишь члены, соответствующие нечетным значениям я.
(1-*)> = 2РГ(а + р+1)Х
Zi Г (я + а +1) fr (я + а + ? + р + ty « w l J
л=0
—p<mln(a + l. -j + j). — 1<лс<1, **> - <ЯУ) - ? /1?°?? Al,, m(fiiy)Ff » (*), (4)
n=o
— 1<JC<1,
где
212 ГЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 110.11
О производящей функции см. 10.8 (29), о билинейной произнодящей функции см. Watson (1934), Erd61yl (1937а) и Bailey; о некоторых разложениях н про-изнедеиия многочленов Якоби см. Bateman (1904, 1905).
Ряды многочленов Гегеибауэра. Обозначения п. 10.9. Постоянные Ae определяются формулой 10.9(7).
sgf^ = 4S -И) (L+ »+"?«! <5>
m=i
Я> —I, — 1 < х< 1,
я=0
Я 4-1
— 1<х<1, —р < 2Г , еслн Я>0,
— Р<-?+Я, если — -|-<Я<0,
-Л, 00
^у = Г(Я) JJi" (я+ Я) ./«+*<*> -1<*<1, Я> 0, (7)
л« о
1-х
(у Sin ф Sin в) 2 J ! (у sln<j> sin 6) eiy C0S Ч>cos 0 =
л»0
X Ja+\ (У) СП <cos Ф)С» <cos в), о < ф, в < я, Я > О, (8) <ь~хЄі (®) = 2х Г (Я) 2 (я + Я) Ja+X (z) Єп+Х (Z) C1n (cos Ф), (9)
