Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Дифференциальное уравнение в частных производных вида Да-)-/(Z-)B=O, Где / (г) является заданной аналитической функцией, зависящей только от г, а и = и (j), имеет решение внда и = Rn (г) Hn (|), где Hn (j) — произвольный гармонический многочлен степени ли Rn (г) — решение обыкновенного дифференциального уравнения
4^+^-4^+1/w-»(«+p)r-ii?-a а)
Mn докажем сейчае, что существует 230 ГЛ. 11. СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ .МНОГОЧЛЕНЫ Ill4S
линейно независимых гармонических многочленов степени п, зависящих ОТ А> + 2 переменных Xu X2, ..., Хр+г.
Чтобы доказать это, вычислим сначала число g(n, р) линейно независимых однородных многочленов степени п от p-f-2 переменных. Очевидно, что
gin, p)-g(n, />-1)+ ... +?(0, р-1), (3)
g(n, 0)=л+1, (4),
и соотношения (3) и (4) однозначно определяют выражение g(n, р):
gin, P)- л1(/? + 1)|--[ „ Г <5>
Но уравнение Лапласа налагает некоторые услония на коэффициенты многочлена Hm причем, поскольку ДHn является однородным многочленом степени л—2, мы имеем не более чем g (л — 2, р) независимых условий, а потому
hin, p)>g(n, p) — g(л—2, р). (6)
С другой стороны, следующие g(n — 2, р) линейно независимых много-членов
xiP(xi> •••• xp+?fr
где P обозначает любой однородный многочлен степени л — 2, не удовлетворяют уравнению Лапласа, а потому
hin, р)< gin, p) — g(n—2, р). (7)
Из неравенств (6) и (7) вытекает (2).
За исключением случая п = 0, не существует гармонических многочленов, инвариантных относительно всех ортогональных преобразований*). Но существует многочлен Hn (г), инвариантный относительно всех ортогональных преобразований, при которых одна из точек единичной сферы остается неподвижной. Поскольку для ортогональных преобразований, оставляющих неподвижной точку т), имеем (Oj1 т)) = (j, т)), достаточно доказать следующую лемму:
Лемма 1. Для каждого единичного вектора т) существует один и только один гармонический многочлен Hn (f), такой, что
I. Hn (г) зависит лишь от г и (j, т));
II. Hn (T1)=I.
Этот многочлен определяется формулой
с„2 (і)
р_
где I = у, a Cn определяется формулой 11.1(16).
(8)
") О. Polya и В. Meyer (1950) изучили ортогональные многочлены от трех переменных, инвариантные относительно любой дайной конечной подгруппы ортогональной группы. 11.2) 11.2. ГАРМОНИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ 231
Р_
Так как Cn (х) может быть выражено через четные нлн нечетные степени от х, в зависимости от того, четно или нечетно л, правая часть равенства (8) является многочленом от Xi.....хр+2, хотя гп может н не являться
р
многочленом. Так как (1) Ф 0, то многочлен (8) удовлетворяет условию II. Следовательно, нам осталось показать, что условие 1 определяет многочлен Hn (г) с точностью до постоянного множителя. Поскольку многочлен Hn (j) однороден и имеет степень л, то он имеет вид
«о (S. гЦГ + Ctr (s, п)"-1 + ... + Cnr",
где C0, ..., Cn — постоянные.
Так как KHn-Q, то из 11.1 (14) получаем соотношения
(л- т) (л- т -1) ст + (т + 2) (2n-m-2 + />) ст+3 = 0, (9) где /n = 0, 1, 2,., „ и
Ci = 0. (10)
Таким образом, Hn однозначно определяется значением с0, причем с, = C3 = ...
=0. Чтобы построить многочлен Hm заметим, что из 11.1 (14) мы имеем Ajr-P = O и, следовательно, для всех значений г справедливо равенство
Pi2 V^ }
ДІИч-їГ'-Д 2(*%-**)2 -1O- <1Г>
I. AasO • J tV
При мы получаем, что коэффициент при P в разложении
-JL
[l-2(g, iDrf + rV] Т (12)
удовлетворяет уравнению Лапласа. Это завершает доказательстно леммы 1 при р = 1, 2,... В случае р = 0 будем исходить нз соотношения 11.1 (23) вместо 11.1(16). Мы получим вместо (8), что прн р = 0 многочленом, суще-ствонанне которого утверждается в лемме 1, является
г"Тп [(?, т,)]. (13)
Теперь можно построить полную систему линейно независимых гармонических многочленов степени л. Пусть
Hm, ь {хц, x/t+t,..., x0+t) (14)
обозначает любой однородный гармонический многочлен степени т, который не зависит от х„ ..., Xk^l. Можно проверить, что для всех значений параметра t выполняется соотношение
Д [(1 - 2Xit + г*)""-* Hm, J = 0. (15)
Это 'позволяет найтн все однородные гармонические многочлены, заннсящйе от р + 2 переменных, если уже известны многочлены от/+1 переменных. Из А (лі, р — 1) линейно независимых многочленов Hm, 2 мы получаем 232 ГЛ. 11. СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ .МНОГОЧЛЕНЫ Ill4S
ft (лі, р — 1) линейно независимых многочленов Ha ($), степень которых относительно п—JK равна Xu а именно:
'""(Z+Jl^)H - (16)
п—т \ г J m,V * '
где т « 0, 1,..п. Поскольку из равенства (3) и
Ч". P)-=g{n, p) — g(n—2, р)
следует, что
h(n, P) = h(n, p-\) + h{n-\, P-I)+ ... -f- ft (О, p — 1), (17)
то мы получаем нз (16) все многочлены Hn (j). Поскольку
{xp+l ± ixp+2)* (18)
образуют полную систему линейно независимых многочленов Hmp, получаем по индукции следующую теорему:
Теорема 1. Пусть т0,.... тр — такие целые числа, что
л=«ліо>і»,> ... >%>0, (19)
и пусть rJi Определяется формулой
Ч ... " <2°)
