Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
w(h) (х; ф) в JL (2 Sln ф)21"1 e-W-W х IГ (JL + ix) |2. (20)
Эти многочлены могут быть выражены через гипергеометрические рядаї в виде
л! Pxn (х; ф) = (2Х)п еіп* ^F1 (- п, к + Ix; 2Х; 1 - *"2Ч (21)
Их ввели Melxner (1934) и W. Hahn (1949). Для этих многочленов существуют представлення с помощью конечных разностей, аналогичные формуле Родрига (Toscano, 1949). Полагая
6F (X) = F (х+-^j-F (х—і}, Ъ* F(x)=6[b*~l F (X)], к = 2,3,..., ОТ
мы имеем
где
(22)
10.22. Ортогональные многочлены дискретного переменного
Конец этой главы мы посвятим краткому рассмотрению некоторых систем ортогональных многочленов, для которых функция распределения а(х) в п 10.1 является функцией скачкой н соответствующее определение скалярного произведения имеет вид 101 (3) Точками, в которых функция а (х) разрывна, яиляются х„ и мы будем использовать функцию скачков j(x): скачок а (х) в точке х = х, равен j (xfi Таким образом, соответствующее определение скалярного произведения имеет вид
(ф„ ф2) = 2 J (Xt) фі (X1) ф» (xt), (1)
1
и функция скачков соответствует весоиой функции, использованной в предыдущих пунктах. Мы будем предполагать, что функция скачков положительна, причем сумма 2 J (xi) конечна. Многие результаты вводных пунктов этой главы остаются справедливыми для скалярного произведения вида 10.1 (2), и, следовательно, они справедливы н при определении скалярного произведения (1).
Мы будем выбирать точки Xt целыми, а ¦< Jt/-<6 Чаще всего встречаются промежутки н функции скачков, указанные в приводимой ниже220 ГЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 110.11
таблице. Связанные с ними ортогональные многочлены соответствуют классическим ортогональным многочленам дискретного переменного и, как правило, детально изучены.
Многочлены дискретного переменного a b j (х) Название- Многочлены
0 N— 1 1 Чебышева
N
pXqN * ( jt ) Кравчука
г(* + 1) Шарлье
^ (Pb
JCi
(P)r(Y)t
Мейкснера В. Гана
Все эти многочлены имеют много общих свойств, среди которых мы отметим лишь конечно-разностный аналог формулы Родрига
рЛх)--kJJjcT 1 {г)
где Kn—постоянные, X (х) — многочлен от х, коэффициенты которого не зависят от л, и Д — разностный оператор вида
А/(¦*) = /(¦*+!)-/(¦*), Дяч V (¦*) - A [A" / Wl. и-1,2,... (3)
Обратно, это свойство характеризует перечисленные выше ортогональные многочлены в том смысле, что любая система ортогональных многочленов, для которых справедлива формула Родрига, может быть сведена к одной из перечисленных выше систем (Hahn, 1949, Weber и Erd?lyi, 1952). Доказательство аналогично проведенному в п. 10.6 и потому опущено.
Доказательство свойства ортогональности этих многочленов может быть основано на формуле (2) и «суммировании по частям» (то есть на преобразовании Абеля). С другой стороны, может быть использован метод производящих функций.
10.23. Многочлены Чебышева дискретного переменного и нх обобщения
Многочлены Чебышева tn (х) применяются для уравновешивания наблюдений по способу наименьших квадратов. О свойствах этих многочленов см. в работах: Сеге (1962, п. 2.8), Jordan (1921 и 1947, гл. VIII), а также сделанные там ссылки.
Определение и свойство ортогональности:
« = 0,1.....N-l, (1)
W W = (?
Ж=0
т, л== 0, 1, ...,N — 1.МД4І WM. МНОГОЧЛЕНЫ КРАВЧУКА И АНАЛОГИЧНЫЕ ИМ 221
Симметрия и «центральные значения»:
tn {N-\-x) = (-\ftn(x), (3)
(4)
¦PfV
Разностное уравнение: (х+ 2) (х-N+ 2)ЬЧ„(х) +
+ {2х - N + 3 - л (л + 1)] Mn (X) - п (п -f 1) tn (X) - ft (5) Рекуррентная формула: (л +1) tn+l (X) - (2л+1) (2х—N + I) tn (X) + л (N*-n*) *„_, (х) = 0, (6)
л«.1, 2,...
Связь с многочленами Лежандра:
Iim N-Hn(Nx) = Рп$х-\). (7)
N-* оо
Обобщение многочленов Чебышева может быть получено с помощью следующего определения:
рп (х, Р, у, б) = а1 (рь (Yb A (*-«)! (S)^n J' (8)
В частности,
Из этой записи непосредственно видно, что
р„(х; 1, 1 — N, 1—N)=tn (х). (10)
Некоторые многочлены, которые ввел Bateman (1933), также являются частным случаем (8). Многочлены (8) ввел
Hahn (1949). Оии
связаны
с функцией скачков
JiK 9. у. в)-JjMk. (11)
Явную формулу х
Pn (Xt, P. Y. P)= (РУ)я *РЛ~п, -X, ?-fv-a+л; Р, г, 1). (12)
и рекуррентные Соотношения дали Weber и Erd6Iyl (1952). Имеется связь с многочленами Якоби
Ilm
у-юо
Y-MY*; «+1. v. Ї-Р) = (Л|Й)^Р)(2л:4.1). (13)
10.24. Многочлени Кравчука и аналогичные им многочлены
Многочлены, связанные с биномиальным распределением в теории вероятности, были введены Кравчуком (1929). Их изучали Aitken и OonJn (1935), перечень их свойств можно найтн в книге Сеге (1962, п. 2.8.2). Положим
р> 0, f> О, /> + 0 = 1, N—положительное целое. (1)222 ҐЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 110.24
Определение, функция скачков, свойство ортогональности:
W-^qajMt "С"" ...» •»
/IlpY * Цх—х)\}
) •
JWr(J)^Vr-. (3)
N
Yi і (*> kn (X) *„(*)-(") Pnqnbaar «,я-0,1.....N. (4)
ГтО
Явное выражение, производящая функция:
кя(х) = ^xnY (~п, X-N-, x-m-iy (5)