Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Все эти утверждения содержатся в следующих более общих результатах. Прн вещественных а и ? последовательные максимумы при х > 0 функции
e~2^\Ll(x)\
образуют возрастающую или убывающую последовательность в зависимости от того, имеет ли выражение '
4? (? — а) (а — 2J3) + (2я +а + 1) (2а — 4? -f 1) je—(а —2? +1) х»
отрицательные нлн положительные значення. '"'
Относительно асимптотических оценок см. Сеге (1962, теорема 7.6.4); улучшение этих оценок может быть выведено нз разложения Трикоми
Границы для многочленов Эрмнта можно вывести нз (14) н (15) в помощью соотношений 10.13(2) н 10.13(4). См. также Sansone (1950а).
ехр (- I Htm (X) I < 2гтт! (2 — gm), (16)
*-« ехр (- I Нш+1 (X) I < 2™+*(т +1)! gm+h (17)
где ^
- <18>
Крамер (Н. Сгатёг) доказал, что
ехр(-^)|Я„(*)|<*У2^, (1? 208 ГЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 110.11
где k — постоянная, для которой Charlier (1931) дал приближенное значение 1,086435. Sansone (1950) дал границы, справедливые прн комплексных значениях переменных.
С помощью теоремы Соника — Пойа можно доказать, что прн х 0 последовательные максимумы функции \Нп(х)\, равно как и максимумы
exp ^— -Tj-j I Hn (х) I, образуют возрастающую последовательность.
Пусть цг, „ есть г-й относительный максимум функции f (х)\рп(х)\, где f (х)— фиксированная неотрицательная функция и [рп(х)\—последовательность ортогональных многочленов. С помощью теоремы Сонина — Пойа можно доказать свойство монотонности цг, п, когда г возрастает и я фиксировано. Изучение числовых таблиц привело Джона Тодда к некоторым предположениям относительно свойств монотонности |jLr> п прн фиксированном г и возрастающем я. Эти результаты были позже доказаны. Пусть
/(*)-1, Pn(X) = Pn(X)
и максимумы нумеруются от точки х = 1 (влево). Cooper (1950) доказал, что іхг, л является убывающей функцией от я прн достаточно больших значениях я Szego (1950) доказал, что это справедливо для всех я>г-|-1. Прн
/W = U Pn(X) = Ck(X)
Szasz (1950) доказал, что г (яН-2А) является убывающей функцией от л. Для
X
/(*)=<?" Pn(X) = Ln(X).
J. Todd (1950) доказал, что цг, „ является возрастающей или убывающей функцией от л, в зависимости от того, нечетно или четно г. Р. Turin заметил, что
ип = Рп(х), — 1<л?<1, удовлетворяет неравенству
<-а«-1ап+1>°- (2°)
Szego (1948) привел много доказательств этого неравенства и Показал, что оно удовлетворяется также для функций
СКп(х) nl Ск(х) , . ..
Un — —t-=o-, — 1 < * < 1.
ск (1) (2Я)„
Ljt(X) я I Lan(X)
Un —---, X О,
¦ Lan(O) («+1)„ «я = Hn (х).
Эти результаты были передоказаны, уточнены и обобщены. Рассматривались определители, элементами которых являются ортогональные многочлены, а также были проведены относящиеся сюда исследования Их выполняли Madhava Rao и Thiruvenkatachar (1949), Sonsone (1949), Szisz (1950а, 1951), Beckenbach, Seidel и Szisz (1951), Forsythe (1951). См. также J. L. Burchnall (1951, 1952). №191
10.». ЗАДАЧИ РАЗЛОЖЕНИЯ
209
Положим
и назовем
10.19. Задачи разложения
Разложение заданной «произвольной» или аналитической функции в ряд по ортогональным многочленам весьма детально изучалось многи > и авторами. Этог вопрос не относится в полном объеме к содержанию настоящего руководства, и поэтому будет достаточно дать краткие указания на наиболее важные результаты Дальнейшую информацию можно найти у Сеге (1962, особенно гл. IX), Качмажа и Шіейнгауза (1958).
Пусть функции {р„(х)) образуют систему ортогональных многочленов относительно весовой функции w (х) н промежутка [а, Ь]. Предположим, что выполнены предположения п. 10.1 и 10.2, и обозначим через L^, р 1, класс функций, для которых существует и конечен интеграл Лебега
ь
/ \f(x)fw(x)dx. а
ь
Ая- / ІРп (X)Y W (X) dx (1)
а
b
^n = K1 / f(x)Pn(x)dx (2)
а
коэффициентами Фурье,
2«ям*) О)
(обобщенным) рядом Фурье функции / (х) относительно системы {рп (X)} ортогональных многочленов. Мы будем говорить, что ряд (3) сходится в пространстве L2w функций /(*), если имеет место соотношение
ь
\f(x) — sa (лг)|" W(X) dx-> 0 при л-*-оо, (4)
а
где Sn(X) — л-я частичная сумма ряда (3).
Приближения в 4 были изучены в п. 10.2, н из полученных там результатов следует, что в случае конечного промежутка \а Ь] ряд (3) сходится в 4 к /(¦*) лля люб°й Функции f (х) из Liw Сходимость в была изучена в работах Pollard (1946, 1947, 1948, 1949) и Wing (1950) Для многочленов Икоби определяемых формулой 10.8 (1), Поллард доказал сходимость в Lpw прн условиях
a>~J. (5)
Для многочленов Гегенбауэра имеем 10.9(1) и сходимость в Lpw прн
*>°> т+г<р< я- w
/ 210
ГЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
110.11
Наконец, для многочленов Лежандра w (х) = 1, и мы имеем сходимость в L^ при
В п. 10.2 было отмечено, что случай бесконечного промежутка приводит к дополнительным затруднениям. Тем не менее при р = 2 сходимость в была доказана для многочленов Лагерра при а > — 1 и для многочленов Эрмита.
Будем говорить, что ряд (3) сходится к f (х) при фиксированном значении X или на заданном отрезке, если для данного х или для всех х из данного отрезка выполняется равенство
