Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
я=0
где
Ireii*! < |Z|, ©2 = г24*Z' — cos ф
и
<?l (®) = Cl j\ (®) + Cs -/-X (®)
даляется произвольной цилиндрической функцией н смысле Соннна и Ват-сона (Ватсои, 1949, п. 3 9). В случае C2 = 0 ограничения иа z, Z могут быть опущены.
Некоторые разложения в ряды по многочленам Гегеибауэра были указаны в п. Ю.9, о билинейной производящей функции см. watson (1933b).
Ряды по многочленам Лежандра Обозначения п. 10.10. Постоянные g„ определяются формулой 10.10 (4). Все разложения справедлины1ШЭД 10.20. ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЙ 213
при — 1 < X < 1 или 0 < в < я, за исключением особо отмеченных случаев.
y(_irh±iKzil
I* Ip=
Pim(X), р>-1, (10)
т=0
|р sgn Jt = 2 (-!)m (2" + т)-р-^у2-
¦ P2Ш+1 (х), P > -1, (11)
1 V 4W+1 Jn ,,V
2 M (2т — 1)(2ж + 2) Sm 2ml '
m=i
(12)
(13)
hр " 2
2 У^сов^-Ї-) — cos2 (I") »=
? *<»*/>„ (cos 0). 0<ф<е<я, (14)
In
1 +
Sin
(1)
= 2^+1)-^,(003 0).
(Ifi)
п=0
1
Полагая в формулах (7), (8) и (9) Я,= , получаем ряды,содержащие функции Бесселя. Производящие функции даиы в формулах 10.10 (V) и 10.10 (VIII).
Ряды многочленов Лагерра. Обозначения п. 10.12. Мы предполагаем повсюду a > — 1, X > 0.
*Р = Г(а + Р + 1)2 Г(а(~Ря)п+1) Lan(X), _р<1 + ш1п(а,|-1),(16)
/1 = 0
ф(а + 1)-1пх=Г(«+1)? rfr + ffl)
Я=1
(17)
-е*+У El [- шах (х, у)] = 2 С+ О"1 (х) Ln (у), л:, у > 0, (18)
/1=0
Л"вГ (а, 1)"1 Lan (х),
я=0
(19)
«*+у (Jty)"0 Г [а, шах (д:, у)] у [a, min (х, у)] =
їіїТЇЇГаWw^0* (20)
я=0214 ГЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 110.11
(хуГ'е*+» {г [а, max(*, у)] - Г ^tt'у) [ -
OO
¦S(» + l)r'« + «+-l) WLaAy). х, у > О, (21)
л=0
е«ы (Ж, у) _ ! + 2 [Ln (X) - L„_i (X)} IL„ (у) - La., (y)j, (22)
Я = 1
_л <*+у) (xy)~ 2 2 е-^у к в'я min (х, у)] -
OO
"Ufr + «) Г ? + ¦+!) WW*)* Re а > 0, (23)
я=0
^S1 - - у) = у-V VI ^?=?- L-IOO 4 М. (24)
Я=1
О <х, у.
В формуле (24) х, у > (? H(z) = O1 1/2, 1, в зависимости от того, имеем ли мы z < 0, z = 0, z > 0.
(а-Р) (a+?) оо
* 8 У" 2 Лв+, (VTy)« S ^1% Ъ О (У), (25)
/1=0
оо
Г<л) Y(a, aH-1; д:) = 2 <я + а>-1 iSа<"2"
я=0
OQ
(1 -у)~*ф («. с; ^?-) - S y"L»~1 (Jf)l * > 0. Iy I < 1.«> 0. (27)
я=0 "
Другие ряды многочленов JIareppa см. в 10.12 (V) и 10.12 (VII). Разложения 10.14(11) в случае, когда ? является целым числом >—и, превращаются в разложения по многочленам Лагерра.
Ряды многочленов Эрмита. Обозначения п. 10.13.
Г(М) V К)
т=0
rM) V1 (M)
(2т -f 1)Г H™+i(x)' Р>—1> (29)
ш=0
OO
VlT Erfi Imin (л, у)] =- У "*ш+}<х)н*т+ЛУ) >0 (30)
^0 22m+1 (2m +1) (2m f 1)1 v 'ЩО. ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЙ
215
OO
(1 + у)-аФ («, I; = 2 М. \у\< 1, (33)
OO
2* (1 + УГ* ф (а, -?) = ? уИ//2т+, ю. (34)
т=0
Другие ряды по многочленам Эрмита см. в 10.13 (V).
Ниже приводится список, указывающий методы вывода этих разложений; здесь даны также ссылки на дальнейший материал, касающийся бесконечных рядов классических многочленов.
Ряды многочленов Якоб и. Коэффициенты были вычислены с помощью интегрирования по частям. Относительно других примеров см. Brafman (1951). Ниже указано, как получены соответствующие формулы.
(5) Из (1) с помощью 10.9(4).
(6) Из (3) с помощью 10.9 (4).
(7) Из (4) с помощью 10.9 (4); Ватсои (1949, стр. 401).
(8) Ватсон (1949, стр. 403).
(9) Ватсон (1949, стр. 398).
Ряды многочленов Лежаидра. Многие примеры получаются из рядов для многочленов Якоби или рядов по многочленам Гегенбауэра с помощью 10.10(3). Много других примеров содержится в книгах о функциях Лежандра. Некоторые примеры см. у Trlcomi (1936, 1939—1940).
(21) Watson (1938).
(22) Tricomi (1935), Doetscli (1935).
(23) Erdilyi (1936).
(24) Tricomi (1948).
(25) Toscano (1949).
(26) 6.12(3).
(27) 6.12(5).
Некоторые примеры рядов по многочленам Лагерра см. у Erdfelyi (1937, 1938).
(28), (29) Из (16) с помощью 10.13(2) и 10.13(3).
(30) Из (3) с помощью 10.13(2) и 10.13(3).
(31), (32) Tricomi (1950а).
(33), (34) Из (27) с помощью 10.13(2) и 10.13(3).
(16) TrIcoml (1948, стр. 332).
(17) Toscano (1949).
(18) Neumann (1912).21§ ГЛ 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [10.Я
10.21. Некоторые классы ортогональных многочленов
Помимо классических ортогональных многочленов существуют иные классы специальных ортогональных многочленов, теория которых детально изучена Мы опишем некоторые из них, ограничившись лишь кратким упоминанием для многочленов, изученных в книіе Сеге, и приводя детали для многочленов, изложение теории которых менее доступно
Многочлены С. Бернштейна и Г Сеге Эти многочлены соответствуют отрезку (—1,1] Их весовая функция w (х) имеет одну из следующих форм
1 УГ^х* 1 -,fhzF
р(X)VT=T*' р(х) ' p(x) V 1+х'
где р(х)—многочлен степени /, положительный на отрезке — 1 Х-< 1. Формула Кристоффеля 10.3(12) указывает на наличие связи между этими многочленами, с одной стороны, и некоторыми многочленами Якоби, с другой стороны.
Этн многочлены были введены Szego (1921) и изучены Бернштейиом (1930, 1932). См. Сеге (1962, п. 26)