Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
п I 2 / U пIГ (N) Г (а -{- m +1) Х
т-О
X Am (ft, (^-Jm Ф (_ л - ?, а + m + 1; г), (11)
где
*=n+iL±I, tf = « + e + ? + l, X=I--^-J, \г \ < 2| a|. (12)
Здесь Ф является вырожденным гипергеометрическим рядом и Am — коэффициентами, определенными в п. 6.12. Используя разложение (6.12) (6), можно получить разложение многочленов Якоби по функциям Бесселя. В частном случае а = ? = О оно приводит к формуле (6).
10.15. Асимптотическое поведение многочленов JIareppa и Эрмита
Общие замечания, сделанные в начале предыдущего пункта, применимы и в этом случае, однако ситуация является более запутанной из-за того, что промежуток бесконечен. Многочлены колеблются на части промежутка и монотонны вне этой части.
Асимптотическое поведение многочленов Лагерра и Эрмита, когда л-> оо и в то же время X определенным образом стремится к нулю, дйотся формулами 10.12(36), 10.13(24) и 10.13(25).
При вещественном а и фиксированном х > 0, или же равномерно в 0<?<л:<(»<оо, мы имеем формулу
х_ а__? iL 2 / Jl JA
га, ч 1 2 ~ 2 4 2 ~4 /0,/- <хя , _( 2~4
Lan(x)=y=e X п соб^Кл*-----— |+0\л /. (1)
Эта формула была обобщена Перроном (см. Сеге, 1962, стр. 206). Sansone (1950) дал двучленную аппроксимацию с оценкой ошибки. Его формула перестает быть верной при малых значениях х, однако в этом случае справедлива формула типа Хилба
ГМLl (X) = -И; + «+1) УаO^) +о(пЩ (2)
(т)
коюрая имеет место при а > — 1 равномерно на отрезке 0 < je ю < оо. В формуле (2) использовано обозначение
v = An + 2а 2. (3)
Это обозначение будет применяться на протяжении данного пункта.
Поведение многочленов Лагерра, когда п-> оо, ах принимает любые значения, было изучено многими авторами (см п. 6 13) Мы ограничимся кратким изложением этих результатов, основанным на мемуаре Tricomi (1949). Трикоми различает четыре случая в зависимости от того, будет ли х близко
8* 201 ГЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
110.11
к нулю, лежит в области колебаний, близко к v или лежит в области монотонности
Разложение
JC Qx Л|
«I. '—ОТО
т= 0
являющееся частным случаем 6.12(11), в котором положено
^=I1 Л* = 0, X2
a-fl
(да-(-2)і4^+2 = (/я + а+1)Л^ — YA*m-i' ж —1. 2. ....
(4)
(б)
і сходится в любой ограниченной области комплексной плоскости х. Рассматривая величины последовательных членов, усматриваем, что если
х<ш О (л1), где Я < -j, то разложение (4) имеет прн я-^оо асимптотический
характер. Это опнсрвает поведение функции Ln(X) около начала. Аналогичное разложение
»I (их)2 ГЛл
uu m
LJ(X)-T (a + п + 1) J) Л. (*)(?) 2 2 У««)
(6)
П1 = 0
с соответствующими коэффициентами было дано Toscano (1949), а в случае »•»я —Trlconil (1941).
В области колебаний О < х < v Трнкоми положил
X — \ cos2 0, O<0<-J, 4tt == V (20 — sin 20) я
и доказал, что при фиксированном 0 имеем
(7)
е'2 Lan(X) = 2 (—1)" (2 cos в)"0 (Jiv sin 20)"w X
гм-i
X
S^w(Tsin2e)" Це+^ + СКя-*)
LmaO
где
4«'(0) = 1,
4ШВ-*-^^9-1]-Относительно общего выражения дли Aa) см. Tricomi (1949). Вблизи точки перехода v имеем
t 2Lan(X)= Yi
(8) (9)
(IQ) ИМЯ 10.15. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЛАГЕРРА 201
где
'-(SFf-*
является функцией Эйрн н А' (?) означает производную функции А (<)• Наконец, в'области монотонности имеем
х_
в 2 Lan(X) = (-I)"*-0(2ch в)~а(nvsh 26)"1/2X
м-1 _т -і
X Yi I-1V 4? <®> (JSh 2б) +0(«-M)|, (15)
.т»0 J
где
4а,(а>-1. (в) - -І- J1A- _(1 _т 8h» в+1]. (16)
В нижеследующем изложении соответствующих результатов для многочленов Эрмнта мы будем пользоваться сокращенными обозначениями
^ = VChiO, 0>0, 46 = V(ah29 —20),
,».-8 /п.), а\-а ,_„ .і, .
(U) (12)
(13)
(14)
W = 2л+I, т.
я
я —1
еслн я — четное,
(17)
-, еслн л — нечетное.
При фиксированном вещественном х (нлн равномерно на любом ограниченном отрезке) имеем
г(|+і)ехр(-^-)я„(Дг)-
-r(H+l)[co.(^-if) + o(^)]. (18)
Cere (1962, стр. 207) дает явное выражение второго слагаемого, а также общую форму асимптотического разложения.
Для оценки поведения многочленов Эрмита, когда я-> оэ, а х принимает любое значение, мы имеем формулу Планшереля — Роташа (Сеге, 1962, стр. 208). Из формул 10.13 (2) н 10.13 (3) видно, что этот случай охватывается
упомянутой выше работой Трикоми. Еслн а = ± то функции Бесселя,
входящие в формулу (4), являются так называемыми сферическими функциями Бесселя и могуі быть выражены в замкнутой форме. 202 ГЛ. IS. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЬРЕМЕННЫХ 112.4
Если при некотором X < -j величина я~Ч* ограничена, когда я-> оо, то Эта формула является асимптотическим разложением.
Областью колебаний является 0< | Jf | < 2 j/пГ. Здесь может быть использовано разложение (8), где а — ± у. В окрестности переходных точек
± 2 У т имеет место равенстно (10), а н области монотонности | х\ >
>2 Ym — равенство (15).
Основные разложения н ряды по сферическим функциям Бесселя являются частными случаями более общих разложении, принадлежащих Trlcomi (1941):
