Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Положим
а > — 1, X > 0 (1)
и распвложнм нули многвчлена Ln (х) в порядке возрастания так, что
Ln(xm)^Q' VXX1KX2K ... KXn, Xm = хт (а, Я). (2)
•
Прн фиксированных т н я мы снова получаем, что Xrn является возрастающей функцией от а. Относительно границ для нулей см. Сеге (19O2, гл. VI) н W. Hahn (1934). Асимптотические представлення многочленов Лагерра н Эрмнта могут быть использованы для того, чтобы найтн приближенные значення нулей (Trlcoml, 1949). Из п. 1015 ясно, что надо различать трн случая. «Первые» нулн — это такие, для которых т остается ограниченным, когда я-*оо; онн изучаются с помощью формулы 10.15(2). «Сред-
ние» нулн — это такие, для которых
п
т~2
остается ограниченным, когда
я со; нх можно вывести нз 10.15 (8). «Последние» нулн, для которых п—т встается ограниченным, когда я->оо, выводятся нз формулы 10.15(10). Получающиеся приближения дают удовлетворительные численные результаты уже прн сравнительно небольших значениях п, например я = 10.
Асимптотические формулы для чисел Крнстоффеля могут быть выведены нз 10.7(7).
Относительно числовых значений нулей и чисел Крнстоффеля для многочленов Лагерра Ln {х) см. SaIzer н Zucker (1949). 10.18] 10.18. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ 206
10.18. Неравенства для классических многочленов
Относительно неравенств для 'общих ортогональных многочленов н их приложений к классическим многочленам см. Cere (1962, гл. VII).
В обозначениях п. 10 3 справедлив следующий результат для монотонной весовой функции (Сеге, 1962, теорема 7.2). Еслн функция w (X) не убывает (не возрастает) и b [а] конечно, то функция У w (х) I рп (х) | достигает наибольшего значения на отрезке [а, Ь\ в точ,>е b [а]
Применяя это утверждение к классическим ортогональным многочленам, весовая функция которых монотонна, получаем неравенства
|P«WI<1. -1<*<1, (1)
о х 1
(•Ц^-)2 -1<*<1, а>-1, (2)
X
«~2|М*>|<1, (3)
Другой плодотворный путь вывода неравенств связан с теоремой Соннна—Пойа (Сеге, 1962, теорема 7.31.1 н сноска). Если S дифференциальном уравнении {k {х) уТ + 9 {х) у = 0 (4)
функции k (х) н ф (х) положительны н имеют непрерывные производные н если k(x)y(x) монотонно, то последовательные (относительные) максимумы І у I образуют возрастающую нлн убывающую последовательность в зависимости от того, убывает нлн возрастает функция к (ж) ф (ж).
Следующие ннже результаты могут быть получены путем конструирования дифференциального уравнения, которому удовлетворяют рассматриваемые функции, н последующего применения теоремы Соннна — Пойа.
Последовательные максимумы для | Pn (х) |, п > 2, при возрастании х от 0 до 1 образуют возрастающую последовательность. (Это соответствует неравенствам (1).) Последовательные максимумы У sin 91 Pn (cos 9) |, п > 2,
я
когда 0 возрастает от 0 до , образуют возрастающую последовательность. В качестве приложения можно доказать, что
УІПГе I Pn (cos 9) I < A-, 0<9<л. (5)
TWX
Далее' Кмк^^-, -1<*<1. (6)
Для многочленов Гегенбауэра
ICj(д:)| = (I) = ^k, я>о, W
,»«-AcL = I (0)1 =
-1< JT< I1 11
(Я )т
(8)
ml
— /я < Я < 0, Я — не целее,
max |С^+1(х)|< ,^1?'1 ,, (Щ
-K-Ki1 /яіу^и + 1)(2Я + 2/л + І)
— m — у<Я<0, Я — не целое, (sin Є/ j Cj (cos Є) j < (Jj1 ' ІГ (Я)] -1, о < Я < 1, 0 < Є < я. (10) 206 ГЛ. 10. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ- (10.18
Для многочленов Якоби положим
q -шах (о, ?) (11)
и получим
-1 <a/< + (12) о>-1, ?>-l,
Если—1<о, ?<—то абсцисса точки наибольшего максимума для Jpfe ?) (j,j J является одной из двух ближайших к X0 = абсцисс
1
точек максимума, и этот максимум имеет порядок -у=, когда я-*оо. Из
Vn
оценок при больших значениях я мы отметим лишь
dm dxm
¦ Pf-® (X)=OW), q = max ^2/и -J- а, 2/и -J- ?, -j). я-foo. (13)
- ' Для частного случая многочленов Лагерра L0n мы уже имели оценку (3) Границы для LJJ могут быть получены отсюда путем использования соотношения 10.12 (39) при ? = 0. В результате получаем
X
|ад|<(а+1)я<л|Г,в2. О>0, (14)
X
ILS (д:) I < [2 — (а +1)„ («!)-J] «Т — 1 < а < 0. (15)
Следующие результаты могут быть доказаны путем применения теоремы Соннна — Пойа к дифференциальным уравнениям, которым удовлетворяют соответствующие функции.
При любом вещественном а последовательные максимумы функции
-4- 4-+І
в X
2 „ 2 2
образуют возрастающую последовательность, если 2rt-J-a-f-1 > 1 и
X > шах (о, 2я + д + 1)» Последовательные максимумы функции
образуют возрастающую последовательность при условии, что * > 0 и
X2 > шах (о,аг — -ij. 10.18) 10.18. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ, МНОГОЧЛЕНОВ 2Q7
Последовательные максимумы функции
е
образуют убывающую последовательность, когда а > — Is
v<x< Stpl
и возрастающую последовательность, когда а > — I и
(2o-f 1) (2я + а+1)
Х> сГП '
Последовательные максимумы функции
JL iL в'2 X2Laa(X)
образуют убывающую последовательность, если
0<x<2/i + a + l, и возрастающую последовательность, если
д->2я + а+1>0.
