Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
В дальнейшем мы будем использовать гиперсферические полярные координаты
г, ві.....Qp, ф,
определяемые равенствами
X1 шт г cos 9j, Xi — г sin o, cos o2, X3 = Г Sin 6] sln 6, cos Os,
Xp = r sin S1 sin o2... sln ep_, cos Qpt Xp+i =Г Sino| SlnO2... sin dp COS ф, Xp+2 = r sin oi sin O2... sin Up sin ф.
(7)
г де r> 0 и
0<Є,<я (/=1,2...,/7), 0 < ф < 2я. (8)
(р 2)-мерный элемент объема задается в этих координаїах формулой
dV — г"+1 (sin O1)" (sin D2)"-1 ... (sin Hp) dr dtf, ... dtip dy, (9) а элемент поверхности единичной сферы d?2 — формулой
da = (sin Є,)р (sin Є2)р_1 ... (sin 0p) d0, ... dQp d<p. (10)
Полная поверхность со единичной сферы U может быть вычислена с помощью этой формулы или из того замечания, что
до № /QQ \ р+2
J ... J ехр(-Д^— ... — **+а).dxx ...dXp+2-( fe-*1**) —
—оо —uj \ —4M /
JD
- J J J ехр (— г2) dV-aj r'+V1 dr.11.11 11-1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 227
В результате вычисления получаем
(И)
Здесь, равно как и далее в этой главе, мы использовали знаки тройного, двойного или простого интеграла, чтобы обозначить интегралы, взятые по (р 4- 2)-мериым, (р 1)-мерным или /»-мерным многообразиям соответственно.
Функции, определенные на единичной сфере ?2, можно рассматривать кап функций F(I) от компонент единичного нектора g. Выражение
ff
F(QdQa) (12)
а (?)
означает (р 1)-кратный интеграл, который получается, если заменить компоненты вектора I их выражениями через 0].....9р, q> и dQ, (|) — соответствующим выражением по формуле (10).
Если P і (I), P2 (і) являются определенными па единичной сфере функциями, такими, что интеграл
/ / F1 Fi(S) dQ (І)
u
существует и равен нулю, то функции F, ($), Fi (?) называют ортогональными на Q (%). Мы будем писать Q вместо Q (1), если переменный вектор очевиден из контекста
Если явно не будет указано иное, то оператор Лапласа А берется относительно компонент і, то есть
дг дг Ht ДеТТ+ТТ+ ••• +-А----(13)
Имеет место формула
A^fe. <Г\-[Я(ть д) + '(/ + ? + 2,И)р(Е. «Г (14)
Оператор А инвариантен относительно ортогональных преобразований,
P+2 р+і
25-=2-5--
ft.l * ft. 1 уъ
где О—ортогональная матрица.
В полярных координатах (S) мы имеем
ТО ЄСТЬ Р+2 Р+2
^ «'-'-1 і -W*)+'-* (-ад-' ? [(-»^Ж"]+
+ г-2 (sin O1)-2 (sin Os)1-' -A- [(Slli 9J"-1 JL- и]+
+ г-2 (sin O1 sin O2)-2 (sin e3)z-p ~ [(sin O3)"-2 ^g- и] + ... + + г-2 (sin 9,... Sin ,)-2 (sin Op)-1 [ sin Єр -g^-"] + + г"2 (sin O1... sin Єр)-2 и. (16)228 ГЛ. 11. СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ .МНОГОЧЛЕНЫ Ill4S
11.1.2. Многочлены Гегенбауэра. Многочлены CJj (х), определяемые с помощью производящей фуикции
(1-2Xt + t*y~v <*> v * (16)
л=0
называют многочленами Гегенбауэра или ультрасферическнки многочленами степени п и поря чкa v. Сеге (1962) обозначает их через P^ (х). Гегенбауэр (1877, 1884, 1890, 1891, 1893) изучил эти многочлены для произвольных значений v. Очерк их теории дан в п. 3.15. Мы будем рассматривать здесь лишь случай, когда 2v является целым числом, 2v = pmm 1, 2, ... В этом случае имеем
С* (Х) (2l)\ dx' n+l ( ) (n + l) (2/)1 IT^{Х ) ' (17>
где / = O1 1, 2, ...,
dn і 1_
Pn (X) = ^n--^c (*•- 1)" = (-я, я+1; 1; -l5jij
является многочленом Лежандра степени п, и Tn(X) = \
= я, щ у, ™
з= cos (п arccos х) (22)
— многочлены Чебышева степени п. При v — 0 место ультрасферических многочленов занимают миогочлены Чебышева. Их производящей функцией является
СО
--I In (1 - 2tx+<¦> - 2 <«+ I)"1 T„+l (X) t» Ч (23)
я=0
Из (20) получаем при я = 0, 1, 2, ...
У+1 T . ь і , Vl — Je* d
¦і
(18)
(19)
(20) (21)
U + іVT^)n+l = ТЛ+1 (X) + і j* Ta+l (x). (24) Для любого значення v Ф 0 имеем также
Cl(X) =(-2)-(1 -,'Г4 . ^ ¦ ? (25)
Здесь
(а)„=1, (а)„ = а (а + 1)... (а + я — 1), я=1,2,... Равенство (25) вытекает нэ 3.15(3) и 2.8 (23).IUJ IJA ГАРМОНИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ 229
Между числами а в (б), А (п, р) в 11.2(22), квадратом нормирующего множителя для многочленов Гегеибауэра
jW и]2 (іdX , <*>
-1
полной поверхностью единичной сферы в (р -J- 1)-мерном пространстве
1±? 2л 2
(27)
а значением
существует соотношение
р_
a'N <аC2 (1) 4л
I-H
(29)
Cn2 (1)
Доказательства формул этого пункта приведены в 'квиге Аппель —
Кампе де Ферье (1926). р_
Функции С 2 можно изучать, исходя из рассмотрения частных решений уравнения Дц k2u = 0 (к которому сводится волновое уравнение в (р Ц- 2)-мерном пространстве); относительно этого см. А. Зоммерфельд (1956) и W. Magnus (1949).
11.2. Гармонические многочлены
Назовем многочлен Hn (j) гармоническим многочленом степени п, бели OH является однородным многочленом степени п OT JK1, X2, ..., Хр+2, так что H„ (Xj) = XnH„(j), и удовлетворяет уравнению Лапласа Д#я (j) = 0. Очевидно, что многочлен r~"H„ (j) «* Hn (?) является однозначной непрерывной функцией на гиперсфере Q (г = 1) и может быть выражен в виде тригонометрического многочлена от 9,, .... Qp, q>. Обозначения те же, что и в п. 11.1.